Lingo使用教程
变为 3) 4 DESKS + 2 TABLES + 1.5 CHAIRS <= 21 时，目标函数值 = 280 +10 = 290。对第4行也类似。
对于非紧约束（如本例中第2、5行是非紧约束），DUAL PRICE 的值为0, 表示对应约束中不等式右端项的微小扰动不影响目标函数。有时, 通过分析DUAL PRICE, 也可对产生不可行问题的原因有所了解。
灵敏度分析的结果是
Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease DESKS 60.00000 20.00000 4.000000 TABLES 30.00000 5.000000 INFINITY CHAIRS 20.00000 2.500000 5.000000
Righthand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
2 48.00000 INFINITY 24.00000 3 20.00000 4.000000 4.000000 4 8.000000 2.000000 1.333333 5 5.000000 INFINITY 5.000000
目标函数中DESKS变量原来的费用系数为60，允许增加（Allowable Increase）=20、允许减少（Allowable Decrease）=4，说明当它在[60-4，60+20] = [56，80]范围变化时，最优基保持不变。对TABLES、CHAIRS变量，可以类似解释。由于此时约束没有变化（只是目标函数中某个费用系数发生变化），所以最优基保持不变的意思也就是最优解不变（当然，由于目标函数中费用系数发生了变化，所以最优值会变化）。
第2行约束中右端项（Right Hand Side，简写为RHS）原来为48，当它在[48-24，48+∞] = [24，∞]范围变化时，最优基保持不变。第3、4、5行可以类似解释。不过由于此时约束发生变化，最优基即使不变，最优解、最优值也会发生变化。
灵敏性分析结果表示的是最优基保持不变的系数范围。由此，也可以进一步确定当目标函数的费用系数和约束右端项发生小的变化时，最优基和最优解、最优值如何变化。下面我们通过求解一个实际问题来进行说明。
例5.2一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3公斤A1，或者在乙车间用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1,A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤A1，乙车间的加工能力没有限制。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：
1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？
2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ 3） 由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？ 模型代码如下：
第26页（共59页）
Lingo使用教程
max=72*x1+64*x2; x1+x2<=50;
12*x1+8*x2<=480; 3*x1<=100;
求解这个模型并做灵敏性分析，结果如下。
Global optimal solution found at iteration: 0
Objective value: 3360.000 Variable Value Reduced Cost X1 20.00000 0.000000 X2 30.00000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000 Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000
Righthand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable
RHS Increase Decrease
2 50.00000 10.00000 6.666667 3 480.0000 53.33333 80.00000 4 100.0000 INFINITY 40.00000
结果告诉我们：这个线性规划的最优解为x1=20，x2=30，最优值为z=3360，即用20桶牛奶生产A1, 30桶牛奶生产A2，可获最大利润3360元。输出中除了告诉我们问题的最优解和最优值以外，还有许多对分析结果有用的信息，下面结合题目中提出的3个附加问题给予说明。 3个约束条件的右端不妨看作3种―资源‖：原料、劳动时间、车间甲的加工能力。输出中Slack or Surplus给出这3种资源在最优解下是否有剩余：原料、劳动时间的剩余均为零，车间甲尚余40（公斤）加工能力。
目标函数可以看作―效益‖，成为紧约束的―资源‖一旦增加，―效益‖必然跟着增长。输出中DUAL PRICES 给出这3种资源在最优解下―资源‖增加1个单位时―效益‖的增量：原料增加1个单位（1桶牛奶）时利润增长48（元），劳动时间增加1个单位（1小时）时利润增长2（元），而增加非紧约束车间甲的能力显然不会使利润增长。这里，―效益‖的增量可以看作―资源‖的潜在价值，经济学上称为影子价格，即1桶牛奶的影子价格为48元，1小时劳动的影子价格为2元，车间甲的影子价格为零。读者可以用直接求解的办法验证上面的结论，即将输入文件中原料约束milk）右端的50改为51，看看得到的最优值（利润）是否恰好增长48（元）。用影子价格的概念很容易回答附加问题1）：用35元可以买到1桶牛奶，低于1桶牛奶的影子价格48，当然应该作这项投资。回答附加问题2）：聘用临时工人以增加劳动时间，付给的工资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润，所以工资最多是每小时2元。
第27页（共59页）
Lingo使用教程
目标函数的系数发生变化时（假定约束条件不变），最优解和最优值会改变吗？这个问题不能简单地回答。上面输出给出了最优基不变条件下目标函数系数的允许变化范围：x1的系数为（72-8，72+24）=（64，96）；x2的系数为（64-16，64+8）=（48，72）。注意：x1系数的允许范围需要x2系数64不变，反之亦然。由于目标函数的费用系数变化并不影响约束条件，因此此时最优基不变可以保证最优解也不变，但最优值变化。用这个结果很容易回答附加问题3）：若每公斤A1的获利增加到30元，则x1系数变为30×3=90，在允许范围内，所以不应改变生产计划，但最优值变为90×20+64×30=3720。
下面对―资源‖的影子价格作进一步的分析。影子价格的作用（即在最优解下―资源‖增加1个单位时―效益‖的增量）是有限制的。每增加1桶牛奶利润增长48元（影子价格），但是，上面输出的CURRENT RHS 的ALLOWABLE INCREASE 和 ALLOWABLE DECREASE 给出了影子价格有意义条件下约束右端的限制范围： milk）原料最多增加10（桶牛奶），time）劳动时间最多增加53（小时）。现在可以回答附加问题1）的第2问：虽然应该批准用35元买1桶牛奶的投资，但每天最多购买10桶牛奶。顺便地说，可以用低于每小时2元的工资聘用临时工人以增加劳动时间，但最多增加53.3333小时。
需要注意的是：灵敏性分析给出的只是最优基保持不变的充分条件，而不一定是必要条件。比如对于上面的问题，―原料最多增加10（桶牛奶）‖的含义只能是―原料增加10（桶牛奶）‖时最优基保持不变，所以影子价格有意义，即利润的增加大于牛奶的投资。反过来，原料增加超过10（桶牛奶），影子价格是否一定没有意义？最优基是否一定改变？一般来说，这是不能从灵敏性分析报告中直接得到的。此时，应该重新用新数据求解规划模型，才能做出判断。所以，从正常理解的角度来看，我们上面回答―原料最多增加10（桶牛奶）‖并不是完全科学的。
5． 模型通常形式．．．（Generate．．．）
从LINGO菜单中选用―Generate．．．‖命令或直接按Ctrl+G组合键可以创建当前模型的代数形式、LINGO模型或MPS格式文本。
6． 选项．．．（Options．．．）
第28页（共59页）
Lingo使用教程
从LINGO菜单中选用―Options．．．‖命令、单击―Options．．．‖按钮或直接按Ctrl+I组合键可以改变一些影响LINGO模型求解时的参数。该命令将打开一个含有7个选项卡的窗口，你可以通过它修改LINGO系统的各种参数和选项。如上图。
修改完以后，你如果单击―Apply（应用）‖按钮，则新的设置马上生效；如果单击―OK（确定）‖按钮，则新的设置马上生效，并且同时关闭该窗口。如果单击―Save（保存）‖按钮，则将当前设置变为默认设置，下次启动LINGO时这些设置仍然有效。单击―Default（缺省值）‖按钮，则恢复LINGO系统定义的原始默认设置（缺省设置）。
（1）Interface（界面）选项卡 选项组 选项 Errors In Dialogs(错误对话框) Splash Screen （弹出屏幕） General （一般选项） Status Bar （状态栏） Status Window （状态窗口） Terse Output （简洁输出） Toolbar （工具栏） Solution Cutoff （解的截断） File Format （文件格式） 含义 如果选择该选项，求解程序遇到错误时将打开一个对话框显示错误，你关闭该对话框后程序才会继续执行；否则，错误信息将在报告窗口显示，程序仍会继续执行 如果选择该选项，则LINGO每次启动时会在屏幕上弹出一个对话框，显示LINGO的版本和版权信息；否则不弹出 如果选择该选项，则LINGO系统在主窗口最下面一行显示状态栏；否则不显示 如果选择该选项，则LINGO系统每次运行LINGO|Solve命令时会在屏幕上弹出状态窗口；否则不弹出 如果选择该选项，则LINGO系统对求解结果报告等将以简洁形式输出；否则以详细形式输出 如果选择该选项，则显示工具栏；否则不显示 小于等于这个值的解将报告为―0‖（缺省值是10-9） lg4 （extended） 模型文件的缺省保存格式是lg4格式（这是一种（lg4，扩展格式） 二进制文件，只有LINGO能读出） lng （text only） 模型文件的缺省保存格式是lng格式（纯文本） （lng，纯文本格式） 语法配色的行数限制（缺省为1000）。LINGO模型窗口中将LINGO关键此显示为兰色，注释为Line limit 绿色，其他为黑色，超过该行数限制后则不再区（行数限制） 分颜色。特别地，设置行数限制为0时，整个文件不再区分颜色。 设置语法配色的延迟时间（秒，缺省为0，从最Delay （延迟） 后一次击键算起）。 Paren Match （括号匹配） 如果选择该选项，则模型中当前光标所在处的括号及其相匹配的括号将以红色显示；否则不使用该功能 Syntax Coloring （语法配色） Command Window （命令窗Send Reports to 如果选择该选项，则输出信息会发送到命令窗Command Window （报告发送到命令口；否则不使用该功能
第29页（共59页）
Lingo使用教程
口） 窗口） 如果选择该选项，则用File|Take Command命令执行命令脚本文件时，处理信息会发送到命令窗口；否则不使用该功能 命令窗口能显示的行数的最大值为Maximum（缺省为800）；如果要显示的内容超过这个值，每次从命令窗口滚动删除的最小行数为Minimum（缺省为400） 命令窗口每次显示的行数的最大值为Length（缺省为没有限制），显示这么多行后会暂停，等待用户响应；每行最大字符数为Width（缺省为74，可以设定为64-200之间），多余的字符将被截断 Echo Input （输入信息反馈） Line Count Limits （行数限制） Page Size Limit（页面大小限制） （2）General Solver（通用求解器）选项卡 选项组 选项 含义 缺省值为32M，矩阵生成器使用的内存超过该限Generator Memory Limit （MB）制，LINGO将报告\矩阵生成器的内存限制（兆） memory\Iterations 迭代次数 求解一个模型时，允许的最大迭代次数（缺省值为无限） Runtime Limits 运行限制 Time (sec) 求解一个模型时，允许的最大运行时间（缺省值运行时间（秒） 为无限） 求解时控制对偶计算的级别，有三种可能的设置： ·None: 不计算任何对偶信息； ·Prices：计算对偶价格（缺省设置）； ·Prices and Ranges：计算对偶价格并分析敏感性。 控制重新生成模型的频率，有三种可能的设置： ·Only when text changes：只有当模型的文本修改后才再生成模型； ·When text changes or with external references：当模型的文本修改或模型含有外部引用时（缺省设置）； ·Always：每当有需要时。 决定求解模型时线性化的程度，有四种可能的设置： Solver Decides：若变量数小于等于12个，则尽可能全部线性化；否则不做任何线性化（缺省设置） ·None：不做任何线性化 ·Low：对函数@ABS(), @MAX(), @MIN(), @SMAX(), @SMIN()，以及二进制变量与连续变量的乘积项做线性化 ·High：同上，此外对逻辑运算符#LE#, #EQ#, #GE#, #NE#做线性化 Dual Computations （对偶计算） Model Regeneration （模型的重新生成） Linearization（线性化） Degree （线性化程度）
第30页（共59页）