因为9×17=153<270
所以南方球队中至少有一支得分超过9分． 冠军在南方球队中
综上所述，冠军是一支南方球队
实战演练 1．（2006年江苏高考题）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 ________________ 种不同的方法（用数字作答）.
解：这个问题显然是一个不尽相异元素的排列问题，第一种类型为红球，共有2个对象；第二种类型为黄球，共有3个对象；第三种类型为白球，共有4个对象，共有2.如图是某城市的道路图（线段表示道路）.假定图中的每小是一样的，由A至B有多少条不同的最短路径？
解：显然，每一条最短路径中都必须包含由西向东的6南向北的5个小段，只是两类小段的顺序可以不同.我们可向的小段看成第一种类型，共有6个对象；南北方向的小段类型，共有5个对象，共有
个小段和由以将东西方看成第二种
9!2!?3!?4!?1260种不同的走法.
个方块的大
11!6!?5!?462条.
3.16名运动员,在10个班级选取,共有有多少种不同选法?
解：上述问题显然是玻瑟—爱因斯坦统计模型.依据玻瑟—爱因斯坦统计模型，将16名运动员看成相同的球,10个班级看成10个不同的盒子，问题等价于：要将16个相同的球放入10个不同的盒子,每盒所放球数不限,有多少种不同放法?
排列方法为：
(16?10?1)!16!(10?1)!?25!16!9!.
4.方程x?y?z?w?23有多少非负整数解？
解：这个问题显然也是玻瑟—爱因斯坦统计模型！可以理解为23个无区别的小球，放入4个不同的盒子里，4个盒子中所放入的球数分别视为x,y,z,w的值，共有
(23?4?1)!23!(4?1)!?26!23!3!个非负整数解.
5.在(a1?a2?????a6)的展开式中有多少类不同的项？
解：展开式中的每一项都具有a11a22???a66的形式，其中m1,m2,???,m6是非负整数，且
mmm10m1?m2?????m6?10.实际上是要寻找有多少种将10拆为非负整数m1,m2,???,m6的和的方式，这等价
于要将10个相同的球放入6个不同的盒子里，依据玻瑟—爱因斯坦统计模型，有
(10?6?1)!10!(6?1)!?15!10!5!.
1k6．计算：pn??Cn,k?1k?0解：利用基本恒等式（3）：
nnqn??(?1)kk?0n1k Cnk?111kk?1Cn?Cn?1 k?1n?111nk?11kpn??Cn?C?(2n?1?1)?n?1n+1k?0n?1k?0k?111n1kkkk?1qn??(?1)Cn?(?1)C??n?1k?1n+1k?0n?1k?07．求证：Cn?2Cn?3Cn???nCn?n?2证明一：利用kCn?nCn?1
kk?1123nn?1n
?kCk?1nkn??nCk?1nk?1n?1k?101n?1n?1?n?Cn?1?n(Cn?1?Cn?1?????Cn?1)?n2k?1n
证明二：设Sn?Cn?2Cn?3Cn?????nCn
则：Sn?nCn?(n?1)Cn01nn?11?????Cn
nn123n所以2Sn?nCn?nCn?????nCn?n?2
Sn?n?2n?1
证明三：本题依旧可以寻找组合模型：左边=C1Cn?C2Cn?C3Cn???CnCn，其中CiCn可表示先从n个元素中选出i个元素，再从选出的i个元素中选取一个的组合数。
设某班有n个同学，选出若干个（至少1人）组成兴趣小组，并指定一个人为组长，把这种选取到的人数i进行分类(i=1、2、?n)，则选法总数即为等式左边；
现在换一种选法，先选组长，有n种选取法，再决定余下的n-1个人是否参加，每人都有两种可能，所以组员有2n?11112131n1i种，所以选法总数共有n?21m?1n?1种。显然两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。
8.求证： CrCn?CrCn0m?Cr2Cnm?2???CrmCn0?Cnm?r(n,m?N?,r?m,n?m)
证明：等式的右边Cn?r表示从n+r个元素中任取m个元素的组合数，等式的左边有m+1项，故我们把n+r个元素中取出m个元素的组合分成m+1类，把n+r个元素分成两组，一组有n个元素，一组有r个元素。
第一类：r个元素中一个不取，n个元素中取m个，有CrCn
0mm第二类：r个元素中取一个，n个元素中取m-1个，有CrCn21m?1
第三类：r个元素中取二个，n个元素中取m-2个，有CrCn??
m?2第m+1类：r个元素中取m个，n个元素中取0个，有CrCn 由分类计数原理得：CrCn?CrCn0m1m?1m0?Cr2Cnm?2???CrmCn0?Cnm?r
9.（2008年上海交大）：已知一个班级30个学生排列成矩阵，设学生身高互不相同，比较每一列中最矮的学生中最高的记为A 与每一行中最高的学生中最矮的记为B，试问：A会超过B的身高吗？是否可能相等？
，3行（列）10列（行），5行（列）6列?30=2?15=3?10=?5?6，所以可以有2行（列）15列（行）
（行）。 设排列为m?n，A为aij，B为apq，即A为第j列最矮的人，B为第p行最高的人。考虑C为apj，若C?AB,，
则A?C?B。若C?A或C?B，则A?B。所以A不可能超过B。可以相等。
10.（2008年上海交大）：将组合问题转化为组合应用模型进行处理，这一转化避免了利用公式进行化简的过程，大大减化了计算量，具有很强的技巧性，充分展示创新思维。
世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组，进行主客场比赛．规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分．比赛结束后前两名可以晋级． （１）由于4支队伍均为强队，每支队伍至少得3分．于是 甲专家预测：中国队至少得10分才能确保出线； 乙专家预测：中国队至少得11分才能确保出线．
问：甲、乙专家哪个说的对？为什么？
（２）若不考虑?1?中条件，中国队至少得多少分才能确保出线？
?1? ?1?乙专家
若中国队得10分，则可能出现其余三队12分、10分、10分的情况，以澳大利亚12分，，卡塔尔10分，伊拉克3分为例，得分情况如下表。中国队无法确保晋级，因此甲专家说的不对。
澳 澳 澳 中 中 卡 卡 伊 伊 总分 3 3 0 3 1 3 0 0 0 3 1 0 0 3 0 3 0 3 3 3 3 12 10 10 3 中 0 卡 0 伊 0 假设中国队得了11分而无法晋级，则必为第三名，而第一名、第二名均不少于11分，而第四名不少于3分。12场比赛四队总得分至多36分，所以前三名11分，第四名3分。而四队总分36分时不能出现一场平局，而11不是3的倍数，故出线平局，矛盾！ 所以中国队得11分可以确保出线。
?2?若中国队得12分，则可能出线如表情况，仍无法确保晋级。
澳 澳 澳 中 中 卡 卡 伊 伊 总分 3 0 3 0 3 3 12 中 0 卡 0 伊 0 3 3 0 3 0 0 0 0 0 3 0 3 3 3 3 12 12 0 假设中国队得13分仍无法出线，则必为第3名，则第一名、第二名均不少于13分，总得分已经不少于39分大于36分，矛盾！
故中国队至少得13分才可以确保出线。 11.（2009年清华大学自主招生）：一条跑马比赛最多只能有8匹马参加，假设同一匹马参加每一场比赛的表现都是一样的。问：可以有不多于50场比赛，完全将64匹马的实力顺序排序吗？
解析：我们可以先把64匹马分成八组，花8次比赛分别排序，花4?(4?1?1)?12次归并为4组，花14次归并为2组，花15次归并为1组，共需8+12+14+15=49场，满足要求。
12..15个人围坐一个圆桌开会，如果先生A拒绝和先生B和C相邻，那么有多少种排坐方式？ 解：15人圆排列14！； A与B相邻有A与C相邻有
2?14!142?14!14?2?13!； ?2?13!； 2?13!13?2?12!；
A与BC同时相邻有
于是A不与B、C相邻的坐法共14!?2?13!?2?13!?2?12!（用到了容斥原理）