习题四
1．下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足就求出定理中的数值
?。
（1）f(x)?2x2?x?3 [－1，1.5] （2）f(x)?11?x2 [－2，2]
（3）f(x)?x3?x [0，3] （4）f(x)?ex2?1 [0，3]
2．下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日定理的所有条件？如满足就求出定理中的数?。
（1）f(x)?x3 [，a] a＞0 （2）f(x)?lnx [1，2] （3）f(x)?x3?5x2?x?2 [－1，0]
3．函数f(x)?x3与g(x)?x2?1在区间[1，2]上是否满足柯西定理的所有条件？如满足就求出定理中的数值?。
4324．若4次方程a0x?a1x?a2x?a3x?a4?0有4个不同的实根，证明
4a0x3?3a1x2?2a2x?a3?0的所有根皆为实根。
5．用拉格朗日定理证明：若limf(x)?f(0)?0，且当x＞0时f?(x)＞0，则当x
x?0?＞0时，f（x）＞0。
提示：对任给的x0＞0，f（x）在[0，x0]上满足拉格朗日定理的条件。 6．证明不等式
|sinx2－sinx1|≤|x2－x1| 提示：设f（x）＝sinx
7．证明：若函数f（x）在[x0，x0+δ]上连续，在（x0，x0+δ）内可导，且limf?(x)?Ax?x0?（A为常数），则f（x）在x0处的右导数存在且等于A。
提示：
f(x0??x)?f(x0)?f?(?)
?x （0＜Δx＜δ，x0＜?＜x0＋Δx＝
8．利用罗彼塔法则求下列极限：
lnxex?e?x（1）lim （2）lim
x?1xx?1x?0（3）limx3?3x2?2x?1x3?x2?x?1 （4）limx??2lnx????tanx2
?（5）limax3?x4x?aa4?2a3x?2ax3?x4 a≠0
（6）limxnx??1eax a＞0，n为正整数
（7）lim （8）limxmlnx m＞0
x???arccotxx?0?ln1?1?x?1??（9）lim? （10）lim(1?sinx)x ??xx?0?xe?1?x?0?1?（11）lim??ln? （12）limxsinx
x?0?x?x?0?9．求下列函数的增减区间：
（1）y?3x2?6x?5 （2）y?x3?x （3）y?x4?2x2?2 （4）y?x?ex
x?1?1x2（5）y? （6）y?2x2?lnx
1?x10．证明函数y＝x－ln（1＋x2）单调增加。 12．求下列函数的极值：
（1）y?x3?3x2?7 （2）y?2x1?x2
（3）y?2?x?x2 （4）y?x2e?x
2（5）y?(x?1)3(x?5)2 （6）y?3?3(x?2) （7）y?(x?1)x322 （8）y?x3(x?1)2
13．利用二阶导数，判断下列函数的极值：
（1）y?x3?3x2?9x?5 （2）y?(x?3)2(x?2)
（3） y?2x?ln(4x)2 （4）y?2ex?e?x 14．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值； （1）y?x4?2x2?5 [－2，2] （2）y?ln(x2?1) [－1，2]
1x2（3）y? [?，1]
21?x（4）y?x?x [0，4]
15．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方形开口容器，怎么做法所用材料最
省？
16．欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大的尺寸，才能使所有建筑材料最省？
17．欲做一个容积为300立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的两倍。问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低？
18．一工厂A与铁路的垂直距离为A公里，它的垂足B到火车站C的铁路长为B公里，工厂的产品必须经火车C才能转销外地，现已知汽车运费为M元/吨公里，火车运费为N元/公里（M>N）。为使用运费最省，准备在铁路上另修一小站M作为转运站，问转运站应修在离火车站C多少公里外处，才能使运费最省（参看1.5的例1）？
19．在一条公路的一侧有某公社的A，B两个大队，其位置如图4-38所示。公社欲在公路旁边修建一个堆货场M，并从A、B两个大队各修一条直线大道通往堆货场M，欲使A、B到M的大道总长为最短，堆货场M应修在何处？
20．以汽船拖载重相等的小船若干只，在两港之间来回运送货物。已知每次拖4只小船一日能来回16次，每次拖7只则一日能来回10次，如果小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回多少次，每次拖多少只小船能使运货总量达到最大？
21．甲船以每小时20公里的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北82公里处以每小时16公里的速度向南行驶，问经过多少时间两船最近？
22．对物体的长度进行了n次测量，得n个数x1，x2，…，xn现在要确定一个量x，使得它与测得的数值之差的平方和为最小，x应是多少？
23．某厂生产某种商品，其年销售量为100万件，每批生产需增加准备费1000元，而每件的库存费为0.05元。如果年销售率是均匀的，且上批销售完后，立即再生产下一批（此时商品库存数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费及库存费之和最小？
24．某商店每年销售某种商品a件，每次购进的手续费为b元，而每件的库存费c元／
年。若该商品均匀销售，且上批销售完后，立即进下一批货，问商应分几批购进此种商品，能使所用的手续费及库存费总和最少？
25．确定下列函数的凹向及拐点？
（1）y?x2?x3 （2）y?3x5?5x3 （3）y?ln(1?x2) （4）y?2x1?x2
（5）y?xex （6）y?e?x 26．求下列曲线的渐近线：（1）y?ex （3）y?lnx （5）y?ex1?x 1（7）y?xex2 2）
y?e?x2
（4）y?e?1x
（6）y?x?e?x
（8）y?x3(x?1)2
（