证明两线互相垂直的常用方法
垂直作为两条直线相交位置的一种特殊情况，在日常生活中为学生所熟悉。整个初中学了不少判定垂直的方法。现在归纳如下： 一、利用定义
垂直的定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。从定义可以看出，只要说明两条直线相交的角是直角，就可以说明两条直线互相垂直。 例1：（兰州市2010年学业考试）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB. 求证：PC是⊙O的切线；
分析：因为点C在圆上，只要说明OC⊥CP即可。 解： ∵OA=OC,∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ∴∠A=∠ACO=∠PCB
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP
∵OC是⊙O的半径
∴PC是⊙O的切线
例2：（威海市2008中考）（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．
求证：AF⊥BE．
分析：线段之间的垂直，只要说明∠BFD=90°，直接计算不出来，通过 三角形全等，间接证明角度为90°。 解：在△ACD和△BCE中，
AC＝BC， E ∠DCA＝∠ECB＝90°， DC＝EC，
∴ △ACD≌△BCE（SAS） ∴ ∠DAC＝∠EBC． ∵ ∠ADC＝∠BDF，
∴ ∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°． ∴ ∠BFD=90°
∴ AF⊥BE．
（2）把两个含有30°角的直角三角板如图2放置， 点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．
F B F D B C 图 1
A 问AF与BE是否垂直？并说明理由．
分析：题目同（1）类似，类比（1）思路，这里△ACD和△BCE 显然不全等，考虑相似即可。 解：AF⊥BE．
∵ ∠ABC＝∠DEC＝30°，∠ACB＝∠DCE＝90°，
D E
图 2
C
A
1
∴ BC?EC＝tan60°
ACDC∴ △DCA∽△ECB． ∴ ∠DAC＝∠EBC． ∵ ∠ADC＝∠BDF，
∴ ∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90° ∴ ∠BFD=90° ∴ AF⊥BE．
二、利用旋转性质
根据旋转性质“旋转前、后的图形全等，对应线段旋转的角度等于旋转角”，如果旋转角是90°，那么对应线段旋转的角度就是90°。
例3：已知：如图，在△ACD中分别以CA、CB为边向外作正方形CANM、正方形CBED，连接MB、AD，求证：MB⊥AD
DMC2ENAB
分析：这里有两个正方形，故考虑MB绕点C逆时针旋转到AD. 解：在正方形CANM、正方形CBED中，
有CM=CA, ∠MCA＝90°；CB=CD, ∠BCD＝90°.
故可看作：点M绕点C逆时针旋转90°到点A；点B绕点C逆时针旋转90°到点D； 所以MB绕点C逆时针旋转90°到AD，由于旋转角为90°。 所以：∠2=90° 所以：MB⊥AD
三、利用勾股定理逆定理
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a?b?c，那么这个三角形是直角三角形。这个逆定理从边的数量关系来判定直角三角形，从而有垂直出现。
例4（山东枣庄2011学业考试）如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线y?x向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y?(x?h)?k.所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D. （1）写出h、k的值；
2
22222
（2）判断△ACD的形状，并说明理由；
2 解：（1）y的顶点坐标为Ｄ（－１，－４）， ?(x?h)?ky Ａ Ｏ Ｂ x Ｃ Ｄ
，k=-4. ∴ h??12 （2）由（1）得y. ?(x?1)?42 当y?0时，(． 解之，得 x． ?3，x1x?1)?4?01?2? ∴ A(?3，，0)B(1，0).
又当x?0时，yx， ?(?1)?4?(0?1)?4??322，-3?. ∴C点坐标为?0又抛物线顶点坐标D1，?4???，作抛物线的对称轴x??1交x轴于点E， DF?y轴于点
F．易知
y 222D???2420在R中，A； t△AEDC???3318在R中，A； t△AOCD???112在R中，C； t△CFDC?CDA?D． ∴ A∴ △ACD是直角三角形．
四、等腰三角形三线合一
等腰三角形三线合一是指等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。如果所要证的垂直恰好是等腰三角形的顶角平分线或底边上的高，则由等腰三角形的三线合一可知它们垂直。
例5（潍坊市2009年学业考试）在四边形ABCD中，
AB⊥BC，DC⊥BC，AB?a，DC?b，BC?a?b，且a≤b．取AD的中点P，连结PB、PC．
试判断三角形PBC的形状； D
P
A
3
222222222Ａ E G Ｏ Ｂ x M Ｃ F Ｄ B
C
解：（1）延长BP、CD交于点E, 由题意，AP=DP，AB∥CD
∴∠ABP=∠E,，∠BAP=∠EDP
∴△ABP≌△DEP
∴BP=EP,ED=AB=a， ∴EC=DC+DE= b+a 又∵BC=a+b, ∴EC =BC
即：△ECB是等腰三角形。 又BP=EP,
即CP是等腰三角形△ECB底边上的中线。 ∴ CP ⊥BE
即△PBC是直角三角形， 又CD⊥BC，BP=PE ∴BP=CP
∴△PBC是等腰直角三角形， 五、利用三角形的高线交于一点
由三角形的高线性质可知：三角形的三条高交于一点。
例6：（威海市2008中考）把两个含有30°角的直角三角板如图放置， 点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F． 问AF与BE是否垂直？并说明理由．
分析：对于△ABE来说，BC是一条高，延长ED交AB于G，EG 也是它的一条高，故D是△ABE高的交点。
B F D E
C A
解：延长ED交AB于G,
4
∵ ∠DEC＝30°，∠CAB＝60°， ∴∠AGE=90°
∴ EG是△ABE的一条高。 又BC是△ABE的另一条高。 ∴D是△ABE高的交点。 又AF经过点D， ∴AF⊥BE
在以上几种方法中，以利用定义和勾股定理逆定理最为常用，即从角的数量和边的数量考虑进行证明。
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