数学史概论（老师划的重点） 1、 如何理解“不了解数学史就不可能全面了解数学科学”？ 答：（1）与其他部门知识相比，数学是一门历史性或者说累积性很强的科学；（2）数学科学是一个不可分割的整体，他的生命力正是在于各个部分之间的联系；（3）数学的发展绝不是一帆风顺的，在更多情况下是充满犹豫、徘徊，要经历艰难曲折，甚至会面临危机；（4）知道重大发明特别是那些绝非是偶然的，经过深思熟虑而得到的重大发明的真正起源是很有益的。这不仅在于历史可以给每一个发明者以应有的评价，从而鼓舞其他人去争取同样的荣誉，而且还在于通过一些光辉的范例可以促进发现的艺术，揭示发现的方法。 2、莱茵德纸草书最初发现与埃及底比斯古都废墟，该草书现藏于伦敦大英博物馆。（泥板书古代两河流域苏美尔、巴比伦、亚述和赫梯人用泥制作的供书写的平面板。在上面用楔形文字刻写文书、契约、纪事和文学作品等。考古发掘中还发现两块完成于公元前2000年代的苏美尔文学 作品目录泥板，现分别存放在法国卢浮宫博物馆和美国费城大学博物馆内。） 3、最早的希腊数学家：泰勒斯 4、古希腊著名三大几何问题：（1）化圆为方，既做一个与给定的圆面积相等的正方形；（2）倍立方体，即求一立方体，使其体积等于一直立方体的两倍；（3）三等分角，即分任意角为三等分。 5、关于倍立方体问题中最重大的成就是柏拉图学派的梅内赫莫斯为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。
6、黄金时代——亚历山大学派的代表人物：欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯（他们的成就标志了古典希腊数学的巅峰）。
7、欧几里得是希腊论证几何学的集大成者，著有《原本》。 8、穷竭法是古希腊数学家证明面积、体积定理时经常使用的一种得力方法。它是由安提丰首创，但完善、成熟的穷竭法主要归功于欧多克斯，也就是《原本》XII中所记载的方法。 9、阿基米德的数学成就：（1）阿基米德的数学著作集中探讨与面积和体积计算相关的问题，阿基米德将穷竭法应用与圆的周长和面积公式；（2）平衡法体现了近代积分法的基本思想，可以说是阿基米德数学研究的最大功绩；（3）阿基米德可以说是一位应用数学家（比如杠杆原理和许多静力学定理，特别是著名的“阿基米德原理”：物体在流体中所受浮力等于其排去流体的重量）。
10、丢番图《算术》特别以不定方程的求解而著称。所谓“不定方程”是指未知数个数多于方程个数的代数方程。丢番图是第一个对不定方程问题作广泛、深入研究的数学家，因此常常把求整系数不定方程的整数解的问题叫“丢番图问题”或“丢番图分析”，而将不定方程称之为“丢番图方程”。 11、在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部（作者不详）。这部著作反映了中国古代数学与天文学的密切联系。从数学上看，《周髀算经》主要的成就是分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定理的论述最为突出。《周髀算经》主要是以文字形式叙述了勾股算法。 12、《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，分成九章，依次是：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股。 13、祖冲之，在世界数学史上第一次将圆周率（π）值计算到小数点后的第7位，即3.1415926到3.1415927之间。祖暅推导几何图形体积公式的方法是以下列两条原理为基础：（1）出入相补定理；（2）祖氏原理：幂势相同，则积不容异。 14、《孙子算经》最著称于世的是卷下的“物不知数问题”。现代文献中往往把求解一次同余组的剩余定理称为“中国剩余定理”，或直称“孙子定理”。 15、宋元数学代表人物“宋元四大家”：杨辉，秦九韶，李志，朱世杰。
16、秦九韶在他的代表作《数书九章》中，将增乘开方法推广到高次方程的一般情形，将这方法称为“正负开方术”。正负开方术是求高次代数方程的完整算法。 17、中国传统数学存在的弱点是什么？
答：筹算系统法使用的十进位值计数制是对世界文明的一大贡献，但筹算本身却有极大的局限性。在筹算框架内发展起来的半符号代数“天元术”与“四元术”，就不能突破筹算的限制演进为彻底的符号代数。筹算方程运算不仅笨拙累赘，而且对有五个以上未知量的方程组无能为力。另一方面，算法创造是数学进步的必要因素，但缺乏演绎论证的算法倾向与缺乏算法创造的演绎倾向同样难以升华为现代数学。而无论是笔算数学还是演绎几何，在中国的传播都由于“天朝帝国”的妄大、自守而显得困难和缓慢。16、17世纪，当代数学在欧洲蓬勃兴起以后，中国数学就更明显的落后了。
18、婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，有两本代表印度古代数学最高水平的著作《莉拉沃蒂》和《算法本源》，天文著作有《天球》和《天文系统之冠》。《算法本源》主要是算数和代数著作，其中包括有零的运算法则的完整论述，特别是对零作除数的问题给出了有意义的解释，认为分母为零的分数“表示一个无穷大量”。
19、阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面。花拉子米是对欧洲数学影响最大的中世纪阿拉伯数学家，著有《代数学》，该书的数学问题都是由根（x）、平方（x2）和术（常数）这三者组成。另一本书《印度计数法》，其中系统介绍了印度数码和十进制计数法，以及相应的计算方法。
20、欧洲黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是斐波那契，写成《算经》，亦译作《算盘书》。1228年的《算经》修订版还在有如下的“兔子问题”：某人在一处有围墙的地方养了一对兔子，假定每对兔子每月生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就能生育。问从这对兔子开始，一年内能繁殖成多少对兔子？ 21、数学符号系统化首先归功于法国数学家韦达，在《分析引导》中，他第一次有意识地使用系统的代数字母与符号。对韦达所使用的代数符号的改进工作是由笛卡尔（笛卡儿）完成的。 22、布里格斯和纳皮尔合作，获得了“常数对数”。 23、在微积分酝酿阶段最具有代表性的工作：（一）开普勒与旋转体体积；（二）卡瓦列里不可分量原理；（三）笛卡儿“圆法”；（四）费马求极大值与极小值的方法；（五）巴罗“微分三角形”；（六）沃利斯“无穷算术”。
24、1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以《流数简论》著称。《流数简论》（简称《简论》）是历史上第一篇系统的微积分文献。 25、牛顿微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》 26、欧拉引进了一批标准的符号如：?（x）——函数符号；∑——求和符号；е——自然对数底；i——虚数单位 27、常微分方程（课本P189）：悬链线问题：求一根柔软但不能伸长的身子自由悬挂于两定点而形成的曲线。 28、变分法（课本P194）：最速降线问题：求两点之间一条曲线，使质点在重力作用下沿着它由一点至另一点降落最快（即所需时间最短）。
29、费马大定理：方程x^n + y^n = z^n，对任意大于2的自然数n无整数解。
30、18世纪数学家们也提出了自己的猜想，其中最著名的是哥德巴赫猜想（即每个偶数是两个素数之和；每个奇数是三个素数之和）和华林问题（即任意自然数n可以表示至多r个数的k次幂之和，即n= x1^k+ x2^n +x3^k+…+ xr ^k，其中x1，x2，x3，…,xr为自然数，r依赖于k）。 31、这些置换的全体构成一个集合，而其中任意两个置换的乘积仍是原来集合中的一个置换，伽罗瓦称之为 “群”，这是历史上最早的“群”的定义。伽罗瓦正是利用他提出的群的概念来解决方程根式可能性问题的。
32、在非欧几何的三位发明人（高斯、波约和罗巴切夫斯基）中，只有罗巴切夫斯基最早的、最系统的发表了自己的研究成果，并且也是最坚定的宣传和捍卫自己的新思想的一位。他在1829年发表了题为《论几何原理》的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何文献。 33、理解几何学的统一？ 答：首先，非欧几何对于人们的空间观念产生了极其深远的影响；其次，非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何的局面。（自己适当补充）
34、希尔伯特在历史上第一次明确的提出了选择和组织公理系统的原则，即：（1）相容性：从系统的公理出发不能退出矛盾，故亦称“无矛盾性”；（2）独立性：系统的每一条公理都不能是其余公理的逻辑推理；（3）完备性：系统中所有的公理都可由该系统的公理推出。
35、维尔斯特拉斯认为实数赋予我们极限与连续性等概念，从而成为全部分析的根源。要是分析严格化，首先就要使实数系本身严格化。为此最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为整数（有理数），这样分析的所有概念便可由整数导出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填补，这就是所谓“分析算术化”纲领。 36、康托尔证明的一个结论：全体有理数的集合是可数的。 37、在19世纪后半叶，对常微分方程研究的理论方面变得突出，并且在两个大的方向上开拓了常微分方程研究的新局面，其中的最大发展都与庞加莱的名字联系着。第一个方向是与奇点问题相联系的常微分方程解析理论（常微分方程解析理论是由柯西开创的；课本P272）；19世纪常微分方程研究的另一个崭新方向——定性理论，则完全是庞加莱的独创。 38、意大利数学家布拉里-福蒂1897年曾首先提出了一个关于序数的悖论。 39、关于数学基础的三大学派：以罗素为代表的逻辑主义、以布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯特为代表的形式主义。 40、应用数学的这个新时代具有哪几方面的特点？ 答：（1）数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎没有的知识领域渗透；（2）纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用，其中最抽象的一些分支也参与了渗透；（3）现代数学对生产技术的应用变得越来越直接；（4）现代数学在向外渗透的过程中，产生了一些相对独立的应用学科。 41、数学与社会发展的关系（课本P376数学发展中心的迁移）？
答：纵观数学的发展，也许不难发现一个事实，即历史上数学发达中心的迁移，同社会政治、经济中心的迁移基本上是相吻合的，数学发展与社会环境相依存；另外，个别动荡时代也可能产生一些高水平的数学。（如中国魏晋南北朝时期出现了刘徽、祖冲之的工作，比较而言大唐盛世却没有特别重大的数学成就），但总的来看，就一般规律而言，发达的经济和稳定的社会，总是数学发展所必要的有利条件。 42、数学奖励：菲尔兹奖、沃尔夫奖、克劳福德奖、阿贝尔奖、邵逸夫奖、奈凡林那奖、高斯奖、陈省身奖、“千年问题奖”。 43、两次西方数学传播的高潮：第一次是从17世纪初到18世纪初，标志性事件是欧几里得《原本》的首次翻译；西方数学在中国早期传播的第二次高潮是从19世纪中叶开始，除了初等数学，这一时期传入的数学知识还包括了解析几何、微积分、无穷级数论、概率论等近代数学。 44、1912年，中国第一个大学数学系——北京大学数学系成立。
45、1917年，胡明复以论文《具边界条件的线性积-微分方程论》获美国哈佛大学博士学位，成为第一位获得博士学位的中国数学家。 46、1920年，姜立夫在天津创办了南开大学数学系，1940年代，他主持筹建了中国第一个数学研究所——中央研究院数学研究所。 47、1930年陈建功在日本岩波书店出版了专著《三角级数论》，这是现代中国学者在国外出版的第一部书学专著。 48、到20世纪40年代后期，又有一批优秀的青年数学家成长起来，走向国际数学的前沿并作出先进的成果，其中最有代表性的是吴文俊的工作。（吴文俊曾获得首届国家自然科学一等奖(1956)、中国科学院自然科学一等奖(1979)、第三世界科学院数学奖(1990)、陈嘉庚数理科学奖(1993)、首届香港求是科技基金会杰出科学家奖(1994)、Herbrand自动推理杰出成就奖(1997)、首届国家最高科学技术奖(2000)、第三届邵逸夫数学奖） 49、华罗庚、陈省身，吴文俊、霍金、纳什等