题目 易拉罐下料问题
摘要
当代生活中，易拉罐成为新型饮料的载物品，是便捷、轻型的新代表。论文以易拉罐的生产为背景，用经济、获利的角度看待生产的分配与规划，从中选择最优方案，使得贵公司每周的生产能够优越地运行和发展。
题目虽然仅有一问，但是里面牵扯的关系种类因素较为复杂，我们主要抓住题目目标求解，即获得利润最大，其目标也递进暗示了材料的使用率也是需要最大的，则据此而得：
目标函数的变量又涉及到产量的规划与材料的使用，然而产量的求解需要易拉罐盖子和瓶身的共同组合而成，那么盖子数量与瓶身的数目成为解决问题的核心，于是易拉罐的真正数量为
其它的时间，原料的基本数量等因素的限制引出相关的不等式，而实际的计划是需要整数的，因此这题解决的关键是整数线性规划。
最后解出的结果是模式一不使用，模式二使用40125次，模式三使用3750次，模式四使用20000次，可生产易拉罐160250个，此时罐身与底罐正好配成无剩余，获得最大利润为4298元。
z=min???10x1?4x2?16x3?5x42x1?2x2?4x4?y4=z?0.1-y1?0.001
关键词 整数规划 优化问题 灵敏度分析
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一、问题背景和重述
1.1问题背景
1959年，美国俄亥俄州帝顿市DRT公司的ERNIE.C.FRAZE（艾马尔·克林安·弗雷兹）发明了易拉罐，即用罐盖本身的材料经加工形成一个铆钉，外套上一拉环再铆紧，配以相适应的刻痕而成为一个完整的罐盖。这一天才的发明使金属容器经历了50年漫长发展之后有了历史性的突破。同时，也为制罐和饮料工业发展奠定了坚实的基础。 1.2问题重述
生产中常会遇到切割、裁剪、冲压等手段，将原材料加工成所需尺寸。按照进一步工艺要求、确定下料方案，使用料最省、利润最大。在本文易拉罐下料的问题中，某公司采用一套冲压设备生产一种罐装饮料的易拉罐，这种易拉罐是用圆柱状镀锡板冲压成的。已知罐身高10cm，上盖和下底的直径均为5cm。两种不同规格的镀锡板原料，规格1的镀锡板为正方形，边长24cm；规格2的镀锡板为长方形，长32cm ，宽28cm；由于生产设备和生产工艺的限制，不同的规格有模式限制，并且在不同模式进行冲压所需时间固定、每周40小时工作时间、规格1、2的镀锡板原料数目的限定，采取相应的数学模型对问题分析，以资源、效益最优化为目的。选择最佳方法。
二、问题分析
2.1问题的分析
针对易拉罐的下料问题，首先要分析题目中所给的已知条件和限制条件。已知条件有：罐身高10cm，上盖和下底的直径均为5cm；两种不同规格的镀锡板原料，规格1的镀锡板为正方形，边长24cm；规格2的镀锡板为长方形，长32cm ，宽28cm；限制条件有：不同的规格在不同的模式下进行，并且在不同模式进行冲压所需时间固定；每周40小时工作时间；规格1、2的镀锡板原料数目固定等；罐身和底、盖的配套组装。要求最优生产方案使得易拉罐利润扣除原料预料损失后的净利润最大。（损失包括不能装配的罐身、上下底余料。）进行线性规划中的整数规划去最优解表示
三、模型假设
3.1为更好进行求解我们作出几点假设：
1、假设该公司每周生产正常，没有意外事故发生； 2、假设易拉罐接口处的材料用量忽略不计； 3、假设易拉罐各部分所用的材料相同； 4、假设每个易拉罐都完好无损；
5、假设生产过程的意外事故和员工个人因素造成损失不计； 6、假设易拉罐所生产量全部销售，无积压现象。 7、假设原料供应充足，排除无缺料现象。 8、假设无生产残次易拉罐现象。
四、符号说明和名词解释
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4.1符号说明
x1、x2、x3、x4 z y1 y2、y3y4分别表示四种模式计划的数量 制作的罐子数目 浪费的原材料的面积 多余的罐身和盖子 表示获得的利润 4.2名词解释
1、灵敏度分析：研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。
2、变量值：表示当该非基变量增加一个单位(其它非基变量保持不变)时目标函数的减少的量。
3、整数规划：规划中的变量（全部或部分）限制为整数若在线性模型中。
4、整数线性规划：规划中的变量（全部或部分）限制为整数若在线性模型中，变量限制为整数。
五、模型建立与求解
5.1问题模型的建立与求解
针对题目需要，每一个条件都是限制大小性的要求，而且从实际角度考虑，那么每一种模式要求确定的数量都是整数，所以建立整数规划模型。我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同。看来，这并非偶然，而应该是某种意义下的最优设计。
x、x、x、x设四种模式计划的数量分别为1234能够制作的罐子数目为z，多余的罐身
y、yy和盖子分别为23，获得的利润为4。 5.1.1决策变量
设xi（i=1、2、3、4）为使用第i重模式生产原料的张数，设z为一周生产的易拉罐数，y2为一周生产所不配套的罐身个数，y3为一周生产所不配套的上盖、下底个数，y4为最终利润。 5.1.2目标函数
依据题目要求公司生产的利润可能高，确立了目标函数：
y4=z?0.1-y1?0.001
5.1.3z值函数
能够制作全的罐子收到罐身和盖子数目的制约，即取得数值较小的一方，然而不排除最后多一个盖子和罐身的可能性，所以确定z值如下函数：
z=min???10x1?4x2?16x3?5x42x1?2x2?4x4?
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5.1.4题目各模式需求
表1 四种模式各需求量 模式 模式1 模式2 模式3 模式4 总面积 576 576 576 896 罐身面积 157.1 314.2 0 628.3 底盖面积 196.3 78.5 314.2 98.2 余料面积 222.6 183.3 261.8 169.5 多余的罐身和盖子的函数如下： ?y2?x1?2x2?4x4-z??y3?10x1?4x2?16x3?5x4-2z
先求得浪费的原材料的面积：
y1??24?24-10?6.25?-10?5??x1+?24?24-4?6.25??x2+?24?24-16?6.25??x3+?32?28-5?6.25?-4?5?10??x4+5y2?10?+y3?6.25???576-112.5??x1+?576-100??x2+?576-100??x3+?896-231.25??x4+y2?50?+y3?6.25?5.1.5题目约束条件
表2 各种模式时间和损失
产量 X1 X2 X3 X4 于是限制条件为： 罐身 1 2 0 4 底、盖 10 4 16 5 冲压时间 1.5 2 1 3 余料损失 222.6 183.3 261.8 169.5 ?1.5x1+2x2+x3+3x4?40?60?60??x1+x2+x3?50000?x?200004???x1，x2，x3，x4?0?x，x，x，x?N?1234?z??10x1+4x2+16x3+5x4?2???z?x1+2x2+4x4最后解出的结果是模式一不使用，模式二使用40125次，模式三使用3750次，模
式四使用20000次，可生产易拉罐160250个，此时罐身与底罐正好配成无剩余，获得最大利润为4298元。
六、模型检验 七、模型优缺点和改进
7.1模型的评价
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7.1.1模型的优点
1、通过运用数学工具和Lingo编程的方法，严格地对模型求解，具有科学性。 2、进行灵敏度检验，极大的证明了模型的稳定性与正确性。 7.1.2模型的缺点
1、建立的模型没有联系到实际生活中，所以缺乏精确性。 2、没有考虑破损和节假日等情况可能对结果有影响。 7.2模型的改进
通过对实际的测量，得到关于易拉罐的数据。以此提供了数据，在问题的解答上，选择最优模型。运用Lingo编程得出答案发现，理论值与显示测量值相符，最后通过对模型的改进，给出了易拉罐的最优设计模型。对罐底和罐壁的厚度等对比没有做深入的研究。期望在此方面加以改进，以达到最经济的效果。用分支定界算法,采用伪费用分支策略划分问题,采用深度优先搜索(DFS)策略选择子问题进行扩展,数值实验表明,改进的算法能够有效提高求解效率,当问题规模较大时,改进效果尤其明显。
八、模型推广
通过对题目的解读我们不难发现这是一类规划问题。我们建立了一个整数线性规划模型。仔细分析我们建立的模型不难发现：这个模型不仅仅适用于出版社的资源配置问题，它对规划类问题的求解都可以起到指导作用。 规划问题是运筹学的一个重要分支。它在解决工业生产组织、经济计划、组织管理人机系统中，都发挥着重要的作用。本模型在实际应用有广泛的运用，线性规划的对偶问题，整数制作用料问题，运输问题和一些最优解问题。
九、参考文献
[1]蔡锁章，数学建模：原理与方法，北京，海洋出版社，2000
[2]吴翊，吴孟达，数学建模的理论与实践，长沙，国防科技大学出版社，1999 [3]白其峥，数学建模案例分析，北京，海洋出版社，2000
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