2013年中考数学 历年试题
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 专题：应用题． 分析：（1）根据猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，可知∠DFG=90°﹣53°=37°，在△DFG中，已知DF的长度，求出DG的长度，若DG＞3，则看不见老鼠，若DG＜3，则可以看见老鼠； （2）根据（1）求出的DG长度，求出AG的长度，然后在Rt△CAG中，根据=sin∠C=sin37°，
即可求出CG的长度． 解答：解：（1）能看到； 由题意得，∠DFG=90°﹣53°=37°， 则
=tan∠DFG，
∵DF=4米， ∴DG=4×tan37°=4×0.75=3（米）， 故能看到这只老鼠；
（2）由（1）得，AG=AD+DG=2.7+3=5.7（米）， 又
=sin∠C=sin37°，
则CG=
=
=9.5（米）． 答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞9.5米．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利用三角函数求解相关线段，难度一般． 23．（2013聊城）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y=
的图象在第二象限交与点C，如果点A为的坐标为（2，0），B是AC的中点．
（1）求点C的坐标；
（2）求一次函数的解析式．
奈曼四中 2013年中考数学备考资料 - 11 -
2013年中考数学 历年试题
考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 专题：探究型． 分析：（1）先根据点A的坐标为（2，0），B是AC的中点，B在y轴上，得出点C的横坐标为﹣2，再将x=﹣2代入y=
，求出y=4，即可得到点C的坐标；
（2）设一次函数的解析式y=kx+b，将点A．点C的坐标代入，运用待定系数法即可求出一次函数的解析式． 解答：解：∵点A的坐标为（2，0），B是AC的中点，B在y轴上， ∴点A与点C的横坐标互为相反数，即点C的横坐标为﹣2， ∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴y=﹣
=4，
∴点C的坐标为（﹣2，4）；
（2）设一次函数的解析式y=kx+b． ∵点A（2，0），点C（﹣2，4）在直线y=kx+b上， ∴， 解得
． ∴一次函数的解析式y=﹣x+2．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法确定函数的解析式，这是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法． 24．（2013聊城）如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：（1）四边形FADC是菱形； （2）FC是⊙O的切线．
奈曼四中 2013年中考数学备考资料
- 12 -
2013年中考数学 历年试题
考点：切线的判定与性质；菱形的判定． 分析：（1）首先连接OC，由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径OC的长，然后由勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平行四边形，继而证得四边形FADC是菱形；
（2）首先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继而可证得FC是⊙O的切线． 解答：证明：（1）连接OC， ∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CE=DE=CD=×4
=2
，
设OC=x， ∵BE=2， ∴OE=x﹣2，
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2
， ∴x2=（x﹣2）2+（2）2， 解得：x=4， ∴OA=OC=4，OE=2， ∴AE=6，
在Rt△AED中，AD=
=4
，
∴AD=CD， ∵AF是⊙O切线， ∴AF⊥AB， ∵CD⊥AB， ∴AF∥CD， ∵CF∥AD， ∴四边形FADC是平行四边形， ∴?FADC是菱形； （2）连接OF， ∵四边形FADC是菱形， ∴FA=FC， 在△AFO和△CFO中，
， ∴△AFO≌△CFO（SSS）， ∴∠FCO=∠FAO=90°， 即OC⊥FC， ∵点C在⊙O上， ∴FC是⊙O的切线．
奈曼四中 2013年中考数学备考资料 - 13 -
2013年中考数学 历年试题
点评：此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 25．（2013聊城）已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20． （1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长； （2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？ （3）当△ABC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）先表示出BC边上的高，再根据三角形的面积公式就可以表示出表示y与x之间的函数关系式，当y=48时代入解析式就可以求出其值；
（2）将（1）的解析式转化为顶点式就可以求出最大值． （3）由（2）可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，AB′，根据轴对称的性质及三角形的周长公式就可以求出周长的最小值． 解答：解：（1）由题意，得 y=
=﹣x2+10x，
当y=48时，﹣x2+10x=48， 解得：x1=12，x2=8， ∴面积为48时BC的长为12或8； （2）∵y=﹣x2
+10x， ∴y=﹣（x﹣10）2+50，
∴当x=10时，y最大=50； （3）△ABC面积最大时，△ABC的周长存在最小的情形．理由如下：由（2）可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10
过点A作直线L平行于BC，作点B关于直线L的对称点B′，
奈曼四中 2013年中考数学备考资料
- 14 -
2013年中考数学 历年试题
连接B′C 交直线L于点A′，再连接A′B，AB′ 则由对称性得：A′B′=A′B，AB′=AB， ∴A′B+A′C=A′B′+A′C=B′C， 当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：△ABC的周长=AB+AC+BC=AB′+AC+BC＞B′C+BC，
当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时△ABC的周长=AB+AC+BC=A′B′+A′C+BC=B′C+BC， 因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小； 这时由作法可知：BB′=20，∴B′C=
=10
，∴△ABC的周长=10
+10，
因此当△ABC面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10
+10．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法和顶点式的运用，轴对称的性质的运用，在解答第三问时灵活运用轴对称的性质是关键．
奈曼四中 2013年中考数学备考资料 - 15 -