河 北 科 技 师 范 学 院
2009 – 2010学年第二学期 07级数学与应用数学专业
实变函数 试卷（B）卷
系（部） 河
题 号 一 二 三 四 合计 北得 分 班 级 科阅卷人 技学 号 师得 分 阅卷人 范 一、 判断题（每题2分，共20分）
姓 名 学
院 1.必有比a大的基数。 2.无限个闭集的并必是闭集。 3.若mE?0，则E是至多可列集。 4.无限集的测度一定不为零。 5.两集合的外测度相等，则它们的基数相等。 装6.若f(x)在E的任意子集上可测，则f(x)在可测集E上可测。订7.E上可测函数列的极限函数在E上不一定可测。 8.f(x)是E上的可测函数，则f(x)可积。 线
9.若f(x)?0且?Ef(x)dx?0，则f(x)?0a.e.于E。 10.若|f(x)|在E上可积，则f(x)在E上也可积。
１
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阅卷人 二、填空题（每题2分，共20分）
1.设An?(0,n),n?1,2,?，则?An? ，?An? 。
n?1n?1??2.设A??1,2,3,?,n,???R1，则A0? ，A'? 。 3.设B是开区间(0,2)中有理点的全体，则mB? 。 4.单调函数的不连续点集的基数是 。 5.设E是[0,1]上的Cantor集，则E? 。
6.闭区间[a,b] 上的有界函数f(x)Rimann可积的充要条件是 。
7. 狄利克雷函数函数D(x)是 可积的，?D(x)dx? 。
[0,1] 得分 阅卷人
三、计算题（每题10分，共20分）.
1.计算lim(R)?n??nxdx。（
01?n4x21212Lebesgue控制收敛定理）
２
?x,x?P0;2. 设f(x)??2，其中P0是Cantor集，试计算
?x,x?[0,1]\\P0? [0,1]f(x)dx。
得分 阅卷人
四、证明题（每题8分，共40分）
11. 证明：{x|x?0}??{x|x?}
nn?1?
３
2. 设M是平面上一类圆组成的集合，中任意两个圆不相交，证明M是是至多可列集。
3. 如果mE?0，则E的任何子集也可测且测度为零。
４
4.设f(x)在E上可积，且f(x)?g(x).a.e.于E，证明：g(x)也在E上可积。
5. 可测集E上的函数f(x)为可测函数充分必要条件是对任何有理数
r，集合E[f(x)?r]是可测集。
５