2
4-23 质量为m，速度为v，能量为E=1/2mv的粒子沿x轴方向运动，其位置测量的误差为?x，设?t??x/v，
试由测不准关系?x??p?12?，导出能量和时间的测不准关系?E??t?12?
4-24 求证力学量x与F( px)的测不准关系((?x)2?(?F)2)1/2??2?F?px
???F?F????,F?i??,F??i?4-25 设F(x,p)是x，p的多项式，证明p ，x ?p?x????????,1?,p?2,r?24-26 计算：?p??r??????r??21???2?,?p,?,?p,? 。
r??r???和A?,B?,B?,C??0,B??0，试计算：?不可对易，A?,C??c?及B?可对易，即A?，但C4-27 设算符A?????????,B?,e?,?A?,f(B??,?A?)? 。其中n为正整数，?为参变量，f为任何可以表示为正幂级数的函数。 ?An??B?和A?,B?,B?,C??0,B??0，试证Glauber公式：?不可对易，A?,C??c?及B?可对易，即A?但C4-28 设算符Ae??B?A?????eee?A?B??1/2C?eee?B?A?1/2C 。
????B?e?B??B??1B??1B??? （提示：?,A?,B?,A?B?,B?,A?e??B?A4-29 证明：eA考虑f(?)?e?BA按λ展开，??2!?????3!???????然后令=1）
?,B?n,B?n?1A?,B?,B?,B?,B?与A?对易，证明A?n?nB?n?1A? ， A??nA? 4-30 设A???????????,B?,B?与A?对易，4-31 设A证明ee?A?B?e??B?,B??1A?A2?? （提示：考虑f(?)?e??Ae??Be??B?)??(A证明dfd??,B?f ，??A??然后积分）
4-32 证明下列几个关于厄米算符的定理：（1）在任何定态下，厄米算符的平均值都是实数。（2）在任何态下。平均值均为实数的算符必为厄米算符。
4-33 证明几个关于一维定态薛定谔方程的定理：（1）对于一维方程（2.2—3.4），如果?1和?2是属于同一个本征值E的两个独立的解，则?1(x)?2(x)??2(x)?1(x)?C(常数)。
(2)对于一维束缚态，所有能级都是非简并的。 (3)对于一维定态问题，如果U(x)为x的偶函数，则任何一个束缚态?E(x)都有一定的宇称性。
4-34 用测不准关系估计原子核中核子（质子和中子）的动能的数量级。曾经设想电子也是原子核的构成单元之一，试利用测不准关系判断这个设想是否正确。
''—6—
?的任何一个本征束缚态?,E，证明公式4-35 对于Hnn?H????En???中的任何一个常数，其中?为包含在H（?，m,等等）。
p24-36 对于一维谐振子，证明U?2m
4-37 质量为m的粒子在中心势场U(r)?cln（2）任何两个能级的间隔与质量m无关。
rr0中运动，证明：（1）对所有的束缚态v2相同，并求出v2。
2?,p?,L?,L?,L?2,x,y,z ??p?，下列力学量中哪些是守恒量？H?????2/2m?AL4-38 给定H,p,p,p,Lxyzxyzz?,B?,B?，但A??0，则一般说来，体系的能级是简并的。 4-39 证明定理：设体系有两个守恒量A??4-40 在一维无限深势阱中，已知阱宽为a，试用测不准关系估算零点能。
第五章 表象理论
???(x?(x??x ，p?x??i??,p?x)?F(x,?i??,p?x,F?,p?x)（1）在x表象中的表示为：x)；5-1 试证明算符x ，F
?x?x??i?（2）在P表象中的表示为：x??(x?x?px ，F?,p?x)?F(i? ，p,px)
?p?p?5-2 求线性谐振子哈密顿量表象中的矩阵元。
5-3 求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。 5-4 求连续性方程
?i?j?(???2m*??t?(x,t)???j?0的矩阵表示。其中?(x,t)??*(x,t)?(x,t) ，
*?????)
?B??0，求：??B?A?,B?,B?满足A?的矩阵表示。?2?B?2?1，且A5-5 设厄米算符A（1）在A表象中，算符A（2）
?,B?的矩阵表示。?的?的本征值和本征函数。在B表象中，算符A（3）在A表象中，算符B（4）在B表象中算符A本征值和本征函数。（5）由A表象到B表象的么正变换矩阵S 。 5-6 已知二阶矩阵A,B满足下列关系：A?0,AA中求矩阵A，B。 5-7 证明：det(S?12??AA?1,B?A?A，试证明B??2?B，并且在B表象
AS)?detA Tr(AB)?Tr(BA) Tr(ABC)?Tr(CAB)?Tr(BCA)，由此说明矩阵的det
及Tr不因表象而异，或者说矩阵的本征值之和以及本征值之积不因表象而异。
—7—
5-8 设矩阵A的本征值为Ai'(i?1,2,?)，令B?eA，其本征值为Bi'(i?1,2?)，证明Bi'?eAi，由此证明
detB?eTrA' 。
5-9 设任何一个厄米矩阵能用一个么正变换对角化。由此证明，两个厄米矩阵能用同一个么正变换对角化的充要条件是它们彼此对易。
5-10 证明若三个厄米矩阵A，B和C有如下对易关系，AB=BA，AC=CA，BC≠CB， 则A的本征值必有简并。
?2p??5-11 设H??U(r)，证明求和规则?(En?Ek)Xnk2mn2??2/2m
???(r?,p?)为厄米算符，证明在能量表象中下式成立：5-12 设F?(En?Ek)Fnkn?2?12?,H?,F?k kF????5-13 对于线性谐振子，设态矢量v??Cn?0n?v?vv，试证明v中n态的成份为n满足aCn2?nn!ne?n?a???a?a??，其中n?a???v
2?0??的矩阵分别为：L?2?1?和L?的共同表象中，算符L?2及L5-14 设已知在L?xyzx2??0?02?Ly???i2??0?i0i1010??1?，0??0???i?，求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵Lx及Ly对角化。 0??第六章 角动量初步
?是厄米算符 6-1 分别用球坐标和直角坐标证明Lz6-2 试证明：?(r,?,?)?f(r)sin?e?,L?有无确定值。 态时，Lxy3i3??的共同本征函数，并求相应的本征值。说明当体系处于此状?2和L为Lz6-3 设体系处在??C1Y11?C2Y10的状态中，试：（1）将此波函数归一化；（2）求力学量L2的测量值及相应的几率；（3）求力学量Lz的可能值及相应的几率；（4）Lx和Ly的可能值及相应的几率。
—8—
?的共同表象中，算符L的矩阵表示为L??2和L6-4 设在Lyyz?02???i2??0?i0i0???i?，求它的本征值和归一化的本0??征函数，并将它表示成Yl m的线性叠加。
6-5 求粒子处在态Yl m时，轨道角动量的x分量和y分量的平均值Lx和Ly，并证明
(?Lx)2?(?Ly)2??2(l?l?m)
22?的本征态Yl m，求证轨道角动量沿与z轴成θ角方向上的分量的平均值为m?cos?了。 6-6 设体系处于Lz?得到的值为??，求测量6-7 设体系处于某一状态，在该状态中测量力学量L2 得到的值是2?2，测量力学量Lz力学量Lx和Ly的可能值。
6-8 求L2 ，Lx的共同本征函数，限定L2?2?2。 6-9 对于Y11 求Lx的取值及相应的几率。
??????22????)x ??x?L?i?(r?L)x?(L?r6-10 试证明：（1）Lx??????22????) ??（2）Lpx?pxL?i?(p?L)x?(L?px????????????2??????L?)??L?? ??L??2i?p? （2）i?(p?L?p,p6-11 证明： （1）p?L?p??????????1??2???2???2221?22?2?r6-12 证明：L?rp?(r?p)?i?r?p，进而证明 p?2L??2?rrr?r2
?2,L?）的共同本征态Y(?,?)，计算L和L的平均值，以及?L,?L，验证测不准关系。 6-13 对于（Lxyxlmyz26-14 粒子处于状态??C(x?y?2z)e??r2?的平均值；（2）L（3）,??0，C为归一化常数。求（1）L 的取值；z（4）Lx 的可能值及相应的几率。 Lz??的几率；
?2,L?）的共同本征态Yl m ，记为lm，证明6-15 将（L?zm00?rr2lm??m?Y?r002rYlmd??1
?的矩阵。指出从l?0到?2,L?）的共同本征矢作为基矢，写出表示轨道角动量算符L?2,L?,L?和L6-16 运用（Lyzz?l?2的矩阵元。
?2和J?是对角的，即以jm作为基矢的表象中，对j?1的体系写出J?和J?矩阵。 6-17 （1）在Jz??2?,J?,J?的矩阵。 （2）对于（1）中的体系导出Jxyz6-18 （1）已知j?12?2和J?矩阵(见上题)，试求通过变换S?1JS使J?对角化的么正?的表象中的J的体系在Jxzxx—9—
2?J?,J?和J?2的矩阵。 ?是对角的表象中，写出J矩阵S （2）在Jyzx?2,J?,J?2(j?6-19 对于J11z221??????的平方?(m?1)的共同本征态jmj?1,m?1，求)，JJ?J?J2z1122122222的
平均值及J的取值几率分布。（j1?0）
???''?????与J?之和,求证：6-20 设J?J1?J代表两个角动量J（1）jmJjm?1z122?,J?数m是对角化的。（提示：利用J?0） z1?''?（2）jmJjm?1?'?jm?' 。?,J??） （提示：利用Jjm?1J???J1?z1?1?mm?1'?jm?'，即J?对量子jmJ1z1zmm2??????（3）当j?j?1时，jmJ1jm?0
'''6-21 证明（1）cos?Ylm?[(l?m?1)(l?m?1)(2l?1)(2l?3)11]2Yl?1,m?[(l?m)(l?m)(2l?1)(2l?1)1]2Yl?1,m
1（2）sin?Ylm?(?)e{[i?(l?m?2)(l?m?1)(2l?1)(2l?3)]2Yl?1,m?1?[(l?m)(l?m?1)(2l?1)(2l?1)]2Yl?1,m?1}
第七章 中心力场
7-1 对于库仑场证明U?2E,T?E，其中E是总能量。
pr27-2 中心力场U(r)中的经典粒子的哈密顿量为H?2??L222?r1???U(r)，其中Pr?r?P，当过渡到量子力
r学时，Pr要换为Pr?算符？
??111????1??(r?P?P?r)??i?(?r)，试问?i??r?P是否厄米算符？Pr是否厄米2rr?r?rr7-3 设氢原子处于状态?(r,?,?)?12R21(r)Y10(?,?)?32?2及L的可R21(r)Y1?1(?,?)，试求氢原子的能量，Lz能值及其几率，并由此求出它们的平均值。
7-4 某类氢原子的波函数表示如下（r以a0为单位）：??281?Z3/2(6?Zr)Zre?Zr/3cos?
（1）通过对?的考察，求量子数n,l和m的数值。（2）从?产生具有相同n,l值，但磁量子数等于m?1的另一个本征函数。（3）当Z?1时，求为?所规定的状态中某电子的最可几r值。
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