机械能守恒定律专题8 能量守恒定律应用（2）传送带模型
1．静摩擦力做功的特点
(1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功． (2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零．
(3)静摩擦力做功时，只有机械能的相互转移，不会转化为内能． 2．滑动摩擦力做功的特点
(1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
(2)相互间存在滑动摩擦力的系统内，一对滑动摩擦力做功将产生两种可能效果： ①机械能全部转化为内能；
②有一部分机械能在相互摩擦的物体间转移，另外一部分转化为内能． 3.摩擦生热的计算：Q＝Ffx相对．其中x相对为相互摩擦的两个物体间的相对位移． 深化拓展 从功的角度看，一对滑动摩擦力对系统做的功等于系统内能的增加量；从能量的角度看，其他形式能量的减少量等于系统内能的增加量． 4.求解相对滑动物体的能量问题的方法 (1)正确分析物体的运动过程，做好受力分析．
(2)利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系．
(3)公式Q＝Ff·x相对中x相对为两接触物体间的相对位移，若物体在传送带上做往复运动时，则x相对为总的相对路程．
5．传送带模型是高中物理中比较成熟的模型，典型的有水平和倾斜两种情况．一般设问的角度有两个： (1)动力学角度：首先要正确分析物体的运动过程，做好受力分析，然后利用运动学公式结合牛顿第二定律求物体及传送带在相应时间内的位移，找出物体和传送带之间的位移关系．
(2)能量角度：求传送带对物体所做的功、物体和传送带由于相对滑动而产生的热量、因放上物体而使电动机多消耗的电能等，常依据功能关系或能量守恒定律求解． 6．传送带模型问题中的功能关系分析 (1)功能关系分析：W＝ΔEk＋ΔEp＋Q. (2)对W和Q的理解： ①传送带做的功：W＝Fx传； ②产生的内能Q＝Ffx相对． 传送带模型问题的分析流程
1
命题点二 传送带模型问题
1．模型分类：水平传送带问题和倾斜传送带问题．
2．处理方法：求解的关键在于认真分析物体与传送带的相对运动情况，从而确定其是否受到滑动摩擦力作用．如果受到滑动摩擦力作用应进一步确定其大小和方向，然后根据物体的受力情况确定物体的运动情况．当物体速度与传送带速度相等时，物体所受的摩擦力有可能发生突变．
例题1、如图11所示，质量为m的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终保持以速度v匀速运动，物体与传送带间的动摩擦因数为μ，物体在滑下传送带之前能保持与传送带相对静止，对于物体从静止释放到与传送带相对静止这一过程，下列说法中正确的是( D )
v212
A．电动机多做的功为mvB．物体在传送带上的划痕长
2μg
1
C．传送带克服摩擦力做的功为mv2 D．电动机增加的功率为μmgv
2
v
解析 物体与传送带相对静止之前，物体做匀加速运动，由运动学公式知x物＝t，传送带做匀速运动，由
2
1
运动学公式知x传＝vt，对物体根据动能定理μmgx物＝mv2，摩擦产生的热量Q＝μmgx相对＝μmg(x传－x物)，
2
1
四式联立得摩擦产生的热量Q＝mv2，根据能量守恒定律，电动机多做的功一部分转化为物体的动能，一
2
vv
部分转化为热量，故电动机多做的功等于mv2，A项错误；物体匀加速运动的时间t＝＝，物体在传送
aμg
2v
带上的划痕长等于x传－x物＝，B项错误；传送带克服摩擦力做的功为μmgx传＝mv2，C项错误；电动
2μg机增加的功率也就是电动机克服摩擦力做功的功率为μmgv，D项正确．
例题2、如图所示，电动机带动水平传送带以速度v匀速转动，一质量为m的小木块由静止轻放在传送带上．若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，当小木块与传送带相对静止时，求：
(1)小木块的位移． (2)传送带转过的路程． (3)小木块获得的动能． (4)摩擦过程产生的热量． (5)电动机因传送小木块多输出的能量．
[解析] 小木块刚放上传送带时，速度为0，受到传送带的滑动摩擦力作用，做匀加速直线运动，达到与传送带相同的速度后不再受摩擦力．整个过程中小木块获得一定的动能，系统内因摩擦产生一定的热量．
(1)对小木块，相对滑动时，由μmg＝ma，得a＝μg， 由v＝at，得小木块与传送带相对静止时所用的时间t＝，
μg
2
图11
v12v则小木块的位移l＝at＝.
22μg2
v2
(2)传送带始终匀速运动，转过的路程s＝vt＝.
μg12
(3)小木块获得的动能Ek＝mv.
2
12
(4)摩擦过程产生的热量Q＝μmg(s－l)＝mv.
2
(5)由能的转化与守恒得，电动机多输出的能量转化为小木块的动能与摩擦产生的热量，所以E总＝Ek
＋Q＝mv.
2
v212 122
[答案] (1) (2) (3)mv(4)mv (5)mv
2μgμg22
例题3、一质量为M＝2.0kg的小物块随足够长的水平传送带一起运动，被一水平向左飞来的子弹击中并从物块中穿过，子弹和小物块的作用时间极短，如图6甲所示．地面观察者记录了小物块被击中后的速度随时间变化的关系如图乙所示(图中取向右运动的方向为正方向)．已知传送带的速度保持不变，g取10m/s2.
v2
图6
(1)指出传送带速度v的大小及方向，说明理由． (2)计算物块与传送带间的动摩擦因数μ.
(3)传送带对外做了多少功？子弹射穿物块后系统有多少能量转化为内能？ 答案 (1)2.0m/s 方向向右 (2)0.2 (3)24J 36J
解析 (1)从v－t图象中可以看出，物块被击穿后，先向左做减速运动，速度为零后，又向右做加速运动，当速度等于2.0m/s，则随传送带一起做匀速运动，所以，传送带的速度大小为v＝2.0 m/s，方向向右． (2)由v－t图象可得，物块在滑动摩擦力的作用下做匀变速运动的加速度 Δv4.0
a＝＝m/s2＝2.0 m/s2，
Δt2
由牛顿第二定律得滑动摩擦力Ff＝μMg，则物块与传送带间的动摩擦因数μ＝
Maa2.0
＝＝＝0.2. Mgg10
(3)由v－t图象可知，传送带与物块间存在摩擦力的时间只有3s，传送带在这段时间内移动的位移为x，则x＝vt＝2.0×3m＝6.0m，
3
所以，传送带所做的功W＝Ffx＝0.2×2.0×10×6.0J＝24J.
设物块被击中后的初速度为v1，向左运动的时间为t1，向右运动直至和传送带达到共同速度的时间为t2，则有
物块向左运动时产生的内能 v1
Q1＝μMg(vt1＋t1)＝32J，
2物块向右运动时产生的内能 v
Q2＝μMg(vt2－t2)＝4J.
2
所以整个过程产生的内能Q＝Q1＋Q2＝36J.
例题4、如图5所示，倾斜传送带沿逆时针方向匀速转动，在传送带的A端无初速度放置一物块．选择B端所在的水平面为参考平面，物块从A端运动到B端的过程中，其机械能E与位移x的关系图象可能正确的是( BD )
图5
解析 选择B端所在的水平面为参考平面，可知初始状态下物块的机械能不为0，A错误．由于物块初速度为0，在物块速度达到与传送带速度相等之前，物块相对传送带向上运动，受到向下的摩擦力，除重力外只有此摩擦力对物块做正功，其机械能增大．若传送带不是足够长时，物块速度与传送带达到共速前已到B端，则对应于图象B，否则达到共速后物块所受摩擦力方向突变为向上，摩擦力开始对物块做负功，物块的机械能开始减少，故C错误，D正确．
例题5、如图所示，一倾角为37。的传送带以恒定速度运行，现将一质量m=\kg的小物体抛上传送带，物体相对地面的速度随时间变化的关系如图所示，取沿传送带向上为正方，g=\=0.6,cos37=0.8.则下列说法正确的是（ACD）
,sin37
A．物体与传送带间的动摩擦因数为0.875 B．0～8 s内物体位移的大小为18m
C．O～8 s内物体机械能的增量为90J D．O～8 s内物体与传送带由于摩擦产生的热量为126J
4
试题分析：根据速度时间图像分析，前6秒钟，物体的加速度方向沿传送带向上，大小即斜率为根据物体在斜面上受力分析有
，整理得
，
选项A对。0～8 s内物体位移等
于前8秒钟速度时间图像与时间轴围成的面积，时间轴上面的部分代表位移为正，下半部分代表位移为负，
结合图像得位移，选项B错。O～8 s内物体动能增加量为
，重力势能增加,机械能增加量为，选项C对。
摩擦生热分为三部分，第一部分为前2秒：70J第二部分，摩擦生热，
最后匀速直线摩擦力为静摩擦，二者没有相对运动，不生热，所以0～8 s内物体与传送带由于摩擦产生的热量为126选项D。
例题6、如图10所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ＝30°，传送带在电动机的带动下，始终保持v0＝2m/s的速率运行，现把一质量为m＝10 kg的工件(可看做质点)轻轻放在传送带的底端，经过时间t＝1.9 s，工件被传送到h＝1.5 m的高处，取g＝10 m/s2求：
图10
(1)工件与传送带间的动摩擦因数；
(2)电动机由于传送工件多消耗的电能．
h
解析 (1)由题图可知，传送带长x＝＝3m.
sinθ假设工件在运动到最大高度之前已经开始做匀速运动．
v0
工件速度达到v0前，设工件运动的时间为t1，则匀加速运动的位移x1＝vt1＝t1
2匀速运动的位移为x－x1＝v0(t－t1)
解得加速运动的时间t1＝0.8s，所以假设成立．
v0加速度a＝＝2.5m/s2
t1
由牛顿第二定律有：μmgcosθ－mgsinθ＝ma，解得μ＝
3. 2
(2)从能量守恒的观点来看，显然电动机多消耗的电能用于增加工件的动能和势能以及克服传送带与工件之间发生相对位移时摩擦力做功产生的热量． 在时间t1内，传送带运动的位移x传＝v0t1＝1.6m
v0在t1时间内，工件运动的位移x1＝t1＝0.8m
2
在时间t1内，工件相对传送带的位移x相对＝x传－x1＝0.8m
5