A级 基础巩固
一、选择题 1．现有以下说法：
①接近于0的数的全体构成一个集合； ②正方体的全体构成一个集合；
③未来世界的高科技产品构成一个集合； ④不大于3的所有自然数构成一个集合． 其中正确的是( ) A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
解析：①与③标准不明确，不满足确定性，不能构成集合；②与④中的对象都是确定的，而且都是不同的，能构成集合．
答案：D
2．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是( ) A．5
B．6
C．7
D．8
解析：根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7.
答案：C
3．设不等式3－2x<0的解集为M，下列正确的是( ) A．0∈M，2∈M C．0∈M，2?M
B．0?M，2∈M D．0?M，2?M
解析：从四个选项来看，本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x<0的解即可．当x＝0时，3－2x＝3>0，所以0不属于M，即0?M；当x＝2时，3－2x＝－1<0，所以2属于M，即2∈M.
答案：B
4．已知集合A中有四个元素0，1，2，3，集合B中有三个元素0，1，2，且元素a∈A，a?B，则a的值为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：因为a∈A，a?B，所以由元素与集合之间的关系知，a＝3. 答案：D
5．由实数x，－x，|x|，x2，－x2所组成的集合中，其含有元素的个数最多为( ) A．2
B．3
C．4
D．5
解析：因为x2＝|x|，－x2＝－|x|，故当x＝0时，这几个实数均为0；当x＞0时，它们分别是x，－x，x，x，－x；当x＜0时，它们分别是x，－x，－x，－x，x.最多表示两个不同的数，故集合中的元素最多为2个．
答案：A 二、填空题
6．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集．给出平面上4个点集的图形，如图(阴影区域及其边界)：
其中为凸集的是________(写出所有凸集相应图形的序号)．
解析：①中的图形，只需连接上方的两个顶点，即可知不满足凸集的定义，故①中的图形所代表的点集不是平面上的凸集；②中的图形上任意两点的连线必定在此线上的，故②中的图形所代表的点集是平面上的凸集；③中的图形上任意两点的连线必定在该图形上，故③中的图形所代表的点集是平面上的凸集；④中的图形，只需在两圆内各取一点，连接这两点，即可知不满足凸集的定义，故④中的图形所代表的点集不是平面上的凸集．
答案：②③
7．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的根为元素的集合中共有________个元素．
解析：方程x－5x＋6＝0的根是2，3，方程x－x－2＝0的根是－1，2，根据集合中元素的互异性知，以两方程的根为元素的集合中共有3个元素．
答案：3
1－a8．若是集合A中的元素，且集合A中只含有一个元素a，则a的值为________．
1＋a1－a
解析：由题意得＝a，所以a2＋2a－1＝0且a≠－1，所以a＝－1±2.
1＋a答案：－1±2 三、解答题
9．若集合A是由元素－1，3组成的集合，集合B是由方程x2＋ax＋b＝0的解组成的集合，且A＝B，求实数a，b.
解：因为A＝B，所以－1，3是方程x2＋ax＋b＝0的解．
???－1＋3＝－a，?a＝－2，则?解得? ??－1×3＝b，b＝－3.??
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10．设x∈R，集合A中含有三个元素3，x，x2－2x. (1)求实数x应满足的条件； (2)若－2∈A，求实数x的值． 解：(1)根据集合中元素的互异性，
x≠3，??2
可知?x≠x－2x，即x≠0且x≠3且x≠－1.
??x2－2x≠3，(2)因为x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，且－2∈A， 所以x＝－2.
B级 能力提升
1．集合A中含有三个元素2，4，6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( ) A．2
B．2或4
C．4
D．0
解析：若a＝2，则6－2＝4∈A； 若a＝4，则6－4＝2∈A；
若a＝6，则6－6＝0?A. 答案：B
6
2．集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
3－x解析：由
66∈N，x∈N知x≥0，>0，且x≠3，故0≤x<3.又x∈N，故x3－x3－x
666
＝0，1，2.当x＝0时，＝2∈N，当x＝1时，＝3∈N，当x＝2时，＝6
3－03－13－2∈N.
故集合A中的元素为0，1，2. 答案：0，1，2
3．设P，Q为两个数集，P中含有0，2，5三个元素，Q中含有1，2，6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，求P＋Q中元素的个数．
解：当a＝0时，由b∈Q可得a＋b的值为1，2，6； 当a＝2时，由b∈Q可得a＋b的值为3，4，8； 当a＝5时，由b∈Q可得a＋b的值为6，7，11. 由集合元素的互异性可知，
P＋Q中的元素为1，2，3，4，6，7，8，11，共8个．