§1.3.2函数的奇偶性
制作:张明允 审核:王平
学习目标 1. 结合具体的函数，了解函数奇偶性的含义。
22. 通过观察、分析函数f(x)?1x3，g(x)?x图象的特点，抽象出一般奇、偶函数的图像特征。
(4)f(x)?x2?1 x???1,3?
(5)f(x)?0
小结函数奇偶性证明的步骤
（1） 首先确定函数的定义域，并判其定义域是否关于原点对称； 43. 分析探索函数图象的特征规律，体会由特殊事例推出一般结论，再加以严格证明的思维方法。 （2）确定f(－x)与f(x)的关系；
目标实施 （3）作出相应结论： 【自学合作探究】 变式一：判断下列函数的奇偶性：
2探究1：做出函数f(x)?1x3, g(x)?x的图象，同时求出x?3,?3,2,?2,1,?1时对应的函数
422(1)f(x)?x?值，观察自变量互为相反数时相应函数值的特性
奇函数、偶函数的定义 奇偶性的定义
探究2：奇（偶）函数的图象有什么特点？
已知函数f(x)?12. 在y轴左侧的图象如图所示，画出它右边的图象。
1 x1?x2(2)f(x)?
x?3?3(3)f(x)?(x?1)1?x 1?x(4)f(x)?1?x2?x2?1
?12x?1(x?0)??2（5）g(x)??
??1x2?1(x?0)??2例 2 已知 f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，
判断 f(x)在(-∞,0)上的单调性，并给出证明.
变式：已知 f(x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数， 试判断 f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明.
小结：设→转化→单调应用→奇偶应用→结论. 奇函数或偶函数的单调区间与单调性的关系 偶函数在关于原点对称的区间上单调性 奇函数在关于原点对称的区间上单调性
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x反思：
① 奇偶性的定义与单调性定义有什么区别？
② 奇函数、偶函数的定义域关于 对称， 图象关于 对称. 【展示点拨】
例 1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)?x?x3?x5 (2)f(x)?x2?1 (3)f(x)?x?2
变式：设奇函数在区间[3,7]上是增函数，且f(3)?5,求f(x)在区间[?7,?3]上的最大值 例3. 设 f (x ) 在R上是奇函数，当 x>0时，f (x)=x(1- x) ， 试问：当x <0 时， f (x ) 的表达式是什么？
变式：已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)=x（x－2），求x<0时，f(x)的解析式．
例4 定义在(?1,1)上的奇函数f(x)在整个定义域上是减函数，若f(1?a)?f(1?a2)?0，求实数a的取值范围。
变式：设定义在[?2,2]的偶函数f(x)，在区间[0,2]是单调递减，且f(1?m)?f(m)，求实数m的取值范围。
目标检测
1. 下列结论正确的是： ( ) (A)偶函数的图象一定与y轴相交；
(B)奇函数的图象一定过原点；
(C)偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴的交点的个数一定是偶数； (D)定义在R上的增函数一定是奇函数．
2. 若函数f?x?为奇函数，且当x?0时，f?x??x?1，则当x?0时，有（ ） （ ）
(A)f?x??0 (B)f?x??0
(C)f?x?f??x?≤0 (D)f?x?－f??x??0
3. 设函数f（x）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数．
①y=－| f（x）| ②y=xf（x2） ③y=－f（－x） ④y= f（x）－f（－x）
函数的奇偶性 中必为奇函数的有____
4、若函数f(x)?ax2?bx?3x?b是偶函数，其定义域为?a?3,2a?，则a?
b? 5、若函数y?f(x),x?R是奇函数，且f(1)?f(2)，则必有 （ ） A．f(?1)?f(?2) B. f(?1)?f(?2) C.f(?1)?f(?2) D.不确定 6．y＝f（x）（x∈R）是奇函数，则它的图象必经过点 A．（－a，－f（－a）） B．（a，－f（a））
C．（a，f（
1a）） D．（－a，－f（a）） 7．如果偶函数在[a,b]具有最大值，那么该函数在[?b,?a]有 （ ）
A．最大值 B．最小值 C．没有最大值
D．没有最小值
8．设f(x)=ax5+bx3+cx－5(a,b,c是常数)且f(?7)?7,则f（7）= ______.
9．若f(x),g(x是)定义在R上的函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且
f(x)?g(x)?1x2?x?1，求f(x)的表达式
10、讨论函数f(x)?x?ax(a?0)的单调性
11、设函数f(x)对于任意x,y?R都有f(x?y)?f(x)?f(y)且x?0时
f(x)?0,f(1)??2
（1）证明f(x)为奇函数
（2）证明f(x)在R上为减函数
（3）若f(2x?5)?f(6?7x)?4求x的取值范围
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