2010-2011学年第一学期《线性代数》复习知识点
一、行列式
1．行列式：性质,计算,展开式 例1．设
k8?0,则k? ; 2kxy2z101例2．若204?7,则131? ; 132xyz例3．已知四阶行列式D中第三列元素依次为?1,2,0,1,它们的余子式依次分别为5,?3,7,?4,则D? ;
12例4．计算四阶行列式D?22二、矩阵
2222223222. 241．矩阵的运算：加法,数乘,乘法,转置 2．矩阵的逆：定义,求逆
3．矩阵的初等变换：行阶梯形矩阵,行最简形矩阵 4．矩阵的秩：定义,用初等行变换求秩 例1．设A???21??02?TTT,B????,则AB? ; (AB)? ; ?10???10??25??1*2*A?A?A?______; AA?例2．已知A??,则______;______;______;???1?3?例3．已知A为三阶方阵,且|A|?2,则|A2?1|?______;|A*|?______;|3A|?______;
?1例4．若方阵A满足A?3A?3E?O,则A?_____;(A?E)?1?______;
?102?1???例5．设A??2031?,则R(A)?______;
?3043????102???例6．设A为4?3矩阵且R(A)?2,B??020?,则R(AB)?______;
?103????21?3????1例7．设A??12?2?,求A;
??132????23?1??21?????例8．求矩阵X使?120?X???10?.
??12?2??31?????1
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三、向量
1．向量的线性运算
2．向量的线性表示及判断
3．向量组的线性相关性：定义,判断 4．向量组的秩,极大无关组
?3???1?????25例1．已知向量????,????,且2????3?,则?? ;
?3??1?????2?0????1??a?????例2．已知向量????2?与???2?正交,则a? ;
?3??1??????1??2??5???????例3．已知向量?1??2?,?2??1?,?3??a?线性相关,则a? ;
?3??0??5????????1??1??1??4?????????例4．设向量组?1??1?,?2???1?,?3??3?,?4???2?,⑴求向量组的秩;⑵求向量组的一个极大无关组,并把其
?2??1??3??5?????????余向量用该极大无关组线性表示.
四、线性方程组
1．齐次线性方程组Ax?0的解的判断和性质
2．非齐次线性方程组Ax?b的解的判断和性质 3．齐次线性方程组Ax?0的基础解系和通解 4．非齐次线性方程组Ax?b的通解
??x1?x2?x3?0??x2?x3?0有非零解例1．若齐次线性方程组?,则?? ; ．．．??x3?0?例2．设n阶方阵A的各行元素之和均为0,且R(A)?n?1,则线性方程组Ax?0的通解为 ;
?4??1?????32例3．设四元非齐次线性方程组Ax?b的三个解向量?1,?1,?1,且?1??2???,?3???,又R(A)?3,则此
?2??3?????1???4?方程组Ax?b的通解x? ;
?x1?x2?2x3?2x4?0?例4．求线性方程组?2x1?x2?4x3?x4?0的基础解系和通解;
??x?2x?2x?x?0234?1?x1?x2?x3?2?例5．求非齐次线性方程组?x1?x2?2x3?3的通解.
?x?x?3x?43?122
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五、相似矩阵
1．矩阵的特征值和特征向量：定义,求解,性质 2．相似矩阵：定义,性质 3．矩阵的对角化：条件,方法 4．对称矩阵的对角化
例1．三阶方阵A的特征值为?1,2,1,则|A|? ; |A?1|? ;|A2?3A?2E|? ; 例2．设方阵A与B相似,且R(A)?3,则R(B)? ;
?2?12???例3．设A??5?33?,求A的特征值与特征向量;
??10?2????1?20???例4．求正交矩阵Q使A???22?2?与对角阵相似;
?0?23????0??1??0???????例5．三阶方阵A的特征值?1?0,?2??1,?3?3,对应的特征向量p1??2?,p2??0?,p3??1?,求A;
??1???1??1????????1??2?12?????a3?的一个特征向量,则a? . 例6．已知p??1?是矩阵A??5??1???10?2?????六、二次型
1．二次型：矩阵,标准形
2．二次型正定性判断
222例1．已知二次型f?2x1?3x2?3x3?4x2x3,⑴写出二次型矩阵A;⑵判别此二次型的正定性;⑶求此二次型的标
准形.
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