《数学实验》报告
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1． 问题描述
I、用蒙特卡罗方法计算以下函数在区间上的积分，并改变随机点数
目观察对结果的影响。
（1）y=1/(1+x), 0= （2）y= (exp(3*x))*sin(2*x), 0= （4）y=(1/(2*pi)^0.5)*exp(-x(i)^2/2),0= （5）y=exp(x(i)/2)*(sin(x(i)))^2, 0= II、用蒙特卡罗法求解全局最优化及约束问题并通过图形做出评论，求下列函数的最大值。 （1） f(x)=(1-x.^2).*sin(3*x),-2*pi= f(x)=x1*x2*x3,s.t.:-x1+2x2+2x3>=0,x1+2x2+2x3<=72,10<=x2<=20,x1-x2=10; （3） f(x,y)=(X.^2+2*(Y.^2)+X.*Y).*exp(-X.^2-Y.^2), abs(x)<1.5,abs(y)<1.5; 2． 问题分析与实验过程 I、(1)使用均值估计法 程序： function p=shell1(a,b,n) z=0; x=unifrnd(a,b,1,n); fori=1:n u=(x(i)+1)^(-1); z=z+u; end p=(b-a)*z/n; 运行结果：p=shell1(0,1,1000) p = 0.6975 >> p=shell1(0,1,10000) p = 0.6922 >> p=shell1(0,1,100) p = 0.7001 >> p=shell1(0,1,500) p = 0.6890 结果分析：改变了四次随机点数，结果都趋近于0.69，说明积分值约等于0.69，但是点数越多，值越接近。 I、(2)使用均值估计法 程序： function p=shell2(a,b,n) z=0; x=unifrnd(a,b,1,n); fori=1:n u=(exp(3*x(i)))*sin(2*x(i)); z=z+u; end p=(b-a)*z/n; 运行结果： >> p=shell2(0,2,1000) p = -24.4911 >> p=shell2(0,2,100) p = -43.8720 >> p=shell2(0,2,10000) p = -30.8699 >> p=shell2(0,2,500) p = -23.2955 >> p=shell2(0,2,100000) p = -30.0058 结果分析： 改变了5次随机点数，结果变化较大，但是点数越多，值越接近真实积分值。所以积分值近似于-30。 I、(3)使用均值估计法 程序： function p=shell3(a,b,n) z=0; x=unifrnd(a,b,1,n); fori=1:n u=(1+x(i)^2)^0.5; z=z+u; end p=(b-a)*z/n; 运行结果： >> p=shell3(0,2,100) p = 2.9293 >> p=shell3(0,2,1000) p = 2.9516 >> p=shell3(0,2,10000) p = 2.9512 >> p=shell3(0,2,100000) p = 2.9600 结果分析：改变了四次随机点数，结果都趋近于2.95，说明积分值约等于2.95，而且点数越多，值越接近真实积分值。 I、(4)使用均值估计法 程序： function p=shell4(a,b,n) z=0; x=unifrnd(a,b,1,n); fori=1:n u=(1/(2*pi)^0.5)*exp(-x(i)^2/2); z=z+u; end p=(b-a)*z/n; 运行结果： >> p=shell4(0,2,100000) p = 0.4783 >> p=shell4(0,2,10000) p = 0.4777 >> p=shell4(0,2,1000) p = 0.4765 >> p=shell4(0,2,100) p = 0.4432 结果分析：改变了四次随机点数，结果都趋近于0.47，说明积分值约等于0.47，而且点数越多，值越接近真实积分值。 I、(5)使用均值估计法 程序： function p=shell5(a,b,n) z=0; x=unifrnd(a,b,1,n); fori=1:n u=exp(x(i)/2)*(sin(x(i)))^2; z=z+u; end p=(b-a)*z/n; 运行结果： >> p=shell5(0,2*pi,100) p = 22.0140 >> p=shell5(0,2*pi,1000) p = 20.2718 >> p=shell5(0,2*pi,10000) p = 20.9394 >> p=shell5(0,2*pi,100000) p = 20.7968 结果分析：改变了四次随机点数，结果都趋近于20.8，说明积分值约等于20.8，而且点数越多，值越接近真实积分值。 I、(6)使用均值估计法 程序： function p=shell6(a1,b1,a2,b2,n) z=0; x=unifrnd(a1,b1,1,n); y=unifrnd(a2,b2,1,n); fori=1:n if y(i)<=sin(x(i)); u=exp(-x(i)^2-y(i)^2); z=z+u; end end p=(b1-a1)*(b2-a2)*z/n; 运行结果： >> p=shell6(0,pi,0,1,100) p = 0.4368 >> p=shell6(0,pi,0,1,1000) p = 0.3378 >> p=shell6(0,pi,0,1,10000) p = 0.3674 >> p=shell6(0,pi,0,1,100000) p = 0.3610 结果分析：改变了四次随机点数，结果都趋近于0.36，说明积分值约等于0.36，而且点数越多，值越接近真实积分值。 II、(1)使用蒙特卡罗法 分析：将x在它被允许的范围内生成多个随机的数值，利用max函数可以近似地求出结果。然后做出图像，进行结果的比较。 程序：