对数平均数不等式链的几何证明及变式探究
中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是： 设b>a>0，则b>a+bb-a>>2lnb-lnaab>211+ab>a，其中
a?b被称为“对数
lna?lnb平均数”.
安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解.
1 对数平均数的不等关系的几何解释
反比例函数f?x??1?x?0?的图象，如图所示，AP??BC??TU??KV，MN??CD??x轴， x1??1??1???a?b2?作在点fxA?a,0?,P?a,?,B?b,0?,Q?b,?,T?ab,,K,????处的切线分别与?ab??a??b???2a?b?AP,BQ交于E,F，根据左图可知，
因为S曲边梯形ABQP所以
>S梯形ABFE=S矩形ABNM，
2(b?a). ① a?b?xab1dx?lnb?lna?S曲边梯形AUTP??aba111dx?lnab?lna?(lnb?lna)?S曲边ABQP x22
S梯形AUTP?1111b?a(?)(ab?a)?? 2a2abab根据右图可知， S曲边梯形AUTP 另外，S矩形ABQX 11111 (b?a)?lnb?lna?(?)(b?a)?(b?a) ③ b2aba综上，结合重要不等式可知： 即b>a+bb-a>>2lnb-lnaab>211+ab>a(b>a>0). ④ 2 对数平均数不等式链的变式探究 近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如2010年湖北卷、2012年天津、2013年新课标Ⅰ、2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等，因此关注对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的. 为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式 a+bb-a>，记为①式；将2lnb-lnab-a>lnb-lnaab，记为②式；将b>b-a2>，记为③式. lnb-lna11+abx1?x2x2?x1.于是，可编制如下试题：已知?2lnx2?lnx1变式探究1：取a?x1,b?x2，则由①知： x2?x1?0，求证：lnx2?lnx1?2(x2?x1). x1?x2x2?x1?x1x2.于是，可编制如下试题：已知 lnx2?lnx1变式探究2：取a?x1,b?x2，则由②知： x2?x1?0，求证：lnx2?lnx1?x2?x1. x1x2x2?x12.于是，可编制如下试题：已?lnx2?lnx11?1x1x2变式探究3：取a?x1,b?x2，则由③知：x2?x1x22?x12知x2?x1?0，求证：1?. ?lnx2?lnx1?x22x1x2变式探究4：取a?x1?1,b?x2?1，则由①知： (x1?1)?(x2?1)(x2?1)?(x1?1).于是，可?2ln(x2?1)?ln(x1?1)x2?x1x?x?12?1. ln(x2?1)?ln(x1?1)2编制如下试题：对任意x1,x2?(?1,??)，且x1?x2，求证： 2 变式探究5：取a?x1?1,b?x2?1，则由②知： (x2?1)?(x1?1)?(x1?1)(x2?1).于是，可 ln(x2?1)?ln(x1?1)x2?x1?x1x2?x1?x2?1. ln(x2?1)?ln(x1?1)(x2?1)?(x1?1)?ln(x2?1)?ln(x1?1)211?x1?1x2?1.于 编制如下试题：对任意x1,x2?(?1,??)，且x1?x2，求证： 变式探究6：取a?x1?1,b?x2?1，则由③知：x2?1?是，可编制如下试题：对任意x1,x2?(?1,??)，且x1?x2，求证： x2?1?x2?x12(x1?1)(x2?1). ?ln(x2?1)?ln(x1?1)x1?x2?2(x1?1)?(x2?1)(x2?1)?(x1?1).于是，可?2ln(x2?1)?ln(x1?1)x2?x1x?x?12?1. ln(x2?1)?ln(x1?1)2变式探究7：取a?x1?1,b?x2?1，则由①知： 编制如下试题：对任意x1,x2?(1,??)，且x1?x2，求证： 变式探究8：取a?x1?1,b?x2?1，则由②知： (x2?1)?(x1?1)?(x1?1)(x2?1).于是，可 ln(x2?1)?ln(x1?1)x2?x1?x1x2?x1?x2?1. ln(x2?1)?ln(x1?1)(x2?1)?(x1?1)?ln(x2?1)?ln(x1?1)211?x1?1x2?1.于是， 编制如下试题：对任意x1,x2?(1,??)，且x1?x2，求证： 变式探究9：取a?x1?1,b?x2?1，则由③知：x2?1?可编制如下试题：对任意x1,x2?(1,??)，且x1?x2，求证： x2?1?(x2?1)?(x1?1)2(x1?1)(x2?1). ?ln(x2?1)?ln(x1?1)x1?x2?2x1x2ex1?ex2ex2?ex1变式探究10：取a?e,b?e，则由①知：.于是，可编制如下试题：对任意?2x2?x1x2?x1ex2?ex1?x1. x1,x2?R，且x2?x1，求证：x22e?eex2?ex1变式探究11：取a?e,b?e，则由②知：?ex1?ex2.于是，可编制如下试题：对任意 x2?x1x1x23 x1,x2?R，且x2?x1，求证：?x2?x1?ex1?x2??ex2?ex1?. 22ex2?ex12?变式探究12：取a?e,b?e，则由③知：e?.于是，可编制如下试题：对11x2?x1?ex1ex2x1x2x2ex2?ex12ex1?x22ex11?ex1?x2任意x1,x2?R，且x2?x1，求证：e???x1??1. x2?x1ex1?ex2e?ex2x2?x1x2…… …… 总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如陕西师范大学罗增儒教授所言：我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘.水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法，方是提升数学思维素养的有效途径. 4