2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题解析
一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．把答案填在题中横线上．）
?（1）设生产函数为Q?ALK?，其中Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，
而A,?,?均为大于零的参数，则当Q?1时K关于L的弹性为______． 【答案】?? ?【考点】导数的经济意义 【难易度】★★
1【详解】解析：当Q?1时,有K?AL,于是K关于L的弹性为
?????LK'(L)?L?K(L)??????1?AL?11?A?L?????. ?（2）某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元．若以Wt表示第t年的工资总额（单位：百万元），则Wt满足的差分方程是______． 【答案】1.2Wt?1?2 【考点】差分方程 【难易度】★
【详解】解析：Wt?(1?0.2)Wt?1?2?1.2Wt?1?2.
?k?1（3）设矩阵A???1??1【答案】?3
111?k11??，且秩(A)?3,则k?______． 1k1??11k?【考点】矩阵的秩、行列式的计算 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
若A为n阶方阵，且r(A)?n,则A?0，反之也成立。 解析：方法1：由题设r(A)?3,知必有
kA?111111第2,3,4列加到第1列k+3111111110010k?10100k?1
1kk?3k11kk?31k111k1111?(k?3)1k11111kk?311k0k?100第1行?（-1）加到第2,3,4行(k?3)111k=(k?3)(k?1)3?0,解得 k?1或k??3.显然k?1时r(A)?1,不符合题意,因此一定有k??3.
方法2：初等变换.不改变矩阵的秩，对A作初等变换有
?k?1A???1??11k1111k11??k?1?k1????1??1?k??k??1?k111??k?3111??0?k?100?k?100????
0k?10??00k?10????00k?1??000k?1?故知k??3时，r(A)?3.
（4）设随机变量X和Y的数学期望分别为?2和2，方差分别为1和4，而相关系数为
?0.5，则根据切比雪夫不等式P{X?Y?6}?______．
【答案】
1 12【考点】切比雪夫不等式 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 切比雪夫不等式：P{X?EX??}?DX?2或P{X?EX??}?1?DX?2
解析：令Z?X?Y, 则E(Z)?E(X?Y)?E(X)?E(Y)??2?2?0, D(Z)?D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)
?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(Y) ?1?4?2?(?0.5)?1?4?3,
于是有PX?Y?6?PZ?E(Z)?6?????D(Z)1?. 2612（5）设总体X服从正态分布N(0,22)，而X1,X2,?,X15是来自总体X的简单随机样本，
2X12???X10则随机变量Y? 服从______分布，参数为______． 2??2)2(X11?X15【答案】F(10,5) 【考点】F分布 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
①?分布：若随机变量Xi(i?1,2,?,n)均服从标准正态分布，且相互独立，则
22X12?X2???Xn~?2(n)；
2?2(m)②F分布：若X~?2(m),Y~?2(n)且X与Y相互独立，则
?(n)2m~F(m,n)； n解析：因为XiN(0,22)i?1,2,22,15.于是
2Xi?02N(0,1),从而有
2?X1?????2?2?X???10??2??X??(10),?11???2??X???15??2??2(5),
而且由样本的独立性可知，
?X1?????2?2?X???10??2?2?X??2(10)与?11???2?2?X???15??2?2?2(5)相互独立.
2??X1?2X?10??????????/102222???X1??X10?????故Y??22222?X11??X15???X15???X11?????????/522????????F(10,5).
故Y服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的F分布.
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．）
（1）设f(x)的导数在x?a处连续，又limx?af?(x)??1，则（ ） x?a（A）x?a是f(x)的极小值点． （B）x?a是f(x)的极大值点． （C）(a,f(a))是曲线y?f(x)的拐点．
（D）x?a不是f(x)的极值点，(a,f(a))也不是曲线y?f(x)的拐点． 【答案】B
【考点】函数的极值、导数的概念 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
若f?(x0)?0，则(x0,f(x0))可能是极值点；又若f??(x0)?0，为极大值点；f??(x0)?0，为极限值点。 解析：方法1：由limf'(x)??1,知limf'(x)?0,即f?(a)?0,于是有
x?ax?ax?af'(x)?f'(a)f'(x)f\a)?lim?lim??1,
x?ax?ax?ax?a即f?(a)?0 ,f??(a)??1?0,故x?a是f(x)的极大值点, 因此,正确选项为(B).
方法2：由limx?af'(x)??1,；及保号性定理知，存在x?a的去心邻域，在此去心邻域x?a内
f'(x)?0.于是推知，在此去心邻域内当x?a时f?(x)?0；当x?a时f?(x)?0.又由x?a条件知f(x)在x?a处连续，由判定极值的第一充分条件知，f(a)为f(x)的极大值. 因此，选 (B).
?12?2(x?1),0?x?1,x（2）设g(x)??f(u)du，其中f(x)??则g(x)在区间(0,2)内
01?(x?1),1?x?2,?3（ ） （A）无界． 【答案】D
（B）递减．
（C）不连续．
（D）连续．
【考点】积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
有限个第一类间断点，不影响变限积分函数的连续性。
12131(x?1)dx?x?x, ?0262x1x12122 当1?x?2时,有g(x)??(x?1)dx??(x?1)dx???x?1?,
021336解析：当0?x?1时,有 g(x)?x?131x?x,??62即g(x)???2?1?x?1?2,??36所以：limg(x)?lim(x3???x?1x?10?x?1
1?x?21222122 x)?，limg(x)?lim(?(x?1))???x?1x?12336316显然g(x)在区间[0,2]内连续, 所以,应选 (D).
???????????a11a12a13a23a33a43a14???a21a22（3）设A?a31a32a41a42a24?a24?,B??a34?a34?a44???a44???????????a14a13a23a33a43a12a22a32a42?0??0a21????,P1?a31??0??a41????1a11??001?100??, 010??000??1?0P2???0??0?1000?010??,其中A可逆，则B?1等于（ ） 100??001??1?1?1（A）AP1P2． （B）P1AP2． （C）P1P2A． （D）P2AP1． 【答案】C 【考点】初等矩阵 【难易度】★★
【详解】本题涉及到的主要知识点：
初等矩阵与矩阵A相乘，实际上是遵循“左行右列”的原则，对矩阵A进行相应的行列变换。
3列互换，再1、4列互换，可得B，根据初等阵的性质，有B?AP2P解析：将A的2、1
两边求逆，且P1?P1,P2?1?1?1?1?1?P?PP?P2，得B?1??AP2P?11P2A12A.
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