无约束优化求解函数fminsearch和fminunc
求解无约束非线性优化问题的函数有fminsearch 函数、fminunc函数。函数fminsearch和fminunc功能相同，但fminunc函数可以得到目标函数在最优解处的梯度和Hessian矩阵值。
无约束优化数学模型为： min f(X) X∈Rn 求解无约束非线性优化问题的步骤为：
第一步： 先编写目标函数的M文件； 第二步： 再在命令窗口中调用相应的优化函数。 1、fminsearch函数调用格式为
[x, fval]=fminsearch(@myfun, x0) 输出参数的含义：
x：返回最优解的设计变量的值；
fval：在最优设计变量值时，目标函数的最小值；
exitflag：返回算法终止的标志，有以下几种情况，＞0 表示算法收敛于最优解处；＝0 表示算法已经达到迭代的最大次数；＜0 表示算法不收敛。
output：返回优化算法信息的一个数据结构，有以下信息：
output.iteration 表示迭代次数 output.algorithm 表示所采用的算法 output.funcCount 表示函数评价次数
输入参数的含义：
@myfun：目标函数的M文件，在其前要加 “@”，或表示为'myfun' ，myfun自己可以任意命名； x0： 在调用该优化函数时，需要先对设计变量赋一个初始值；
2、fminunc函数的调用格式
[x, fval]=fminunc (@myfun, x0)
grad： 返回目标函数在最优解处的梯度信息；hessian：返回目标函数在最优解处的hessian矩阵信息。其余含义同上。 3、实例 已知某一优化问题的数学模型为：
min f(X)=3x12+2x1x2+x22 X∈Rn 用MATLAB程序编写的代码为：
第一步：首先编写目标函数的.m文件，并保存为examplefsearch.m文件（先单击file菜单，后点击New命令中的M—file，即可打开M文件编辑窗口进行代码的编辑，在英文状态下输入程序代码），代码为：
function f=examplefsearch（x） f=3*x(1)^ 2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2;
第二步：在Command窗口中调用fminsearch函数，代码为： x0=[1;1]; %赋初值 [x,fval]=fminsearch(@examplefsearch,x0) %回车即可调用fminsearch函数，得到结果 输出最优解结果为： x=
1.0e-0.08* -0.7914 0.2260 %分别为x1和x2的最优点的值（近似为0）
fval= 1.5722e-016 %对应最优点的最优目标函数值（近似为0） 4、作业 已知几个优化问题的数学模型分别为： （1）min f(X)=0.1935x1 x22 x32(4+6x4) X∈R4
（2）min f(X)= (x13+cos x2+log x3）/ e x1 X∈R3
∈ R3 （3）min f(X)=2x13+4x1x23 -10x1x2+x33 X
试用MATLAB编程分别求解上述优化问题的最优解。（分别把步骤、代码、结果写在另一张纸上，作为作业交）
其中cos x2在MATLAB应写为cos(x(2))；log x3应为log(x(3))；e x1应为exp(x(1))。
二、求解线性优化问题的函数linprog 1 、linprog函数要求数学模型的形式
在MATLAB优化工具箱中，用于求解线性规划的函数有linprog，要求的线性规划的数学模型的一般形式为：
min f(X) =fT*X X∈Rn s.t. A*X≤b Aeq* X =beq lb≤X≤ub
上式中，f：表示目标函数中变量的系数向量，为列向量；
A：表示所有线性不等式约束的系数矩阵；
b：为所有线性不等式约束的不等式右面常数向量，为列向量； Aeq：表示所有线性等式约束的系数矩阵；
beq：为所有线性等式约束的等式右面常数向量，为列向量； lb和ub：分别表示为变量的上下限，为列向量。
2、linprog函数的调用格式
调用格式如下： [x,fval]= linprog (f, A,b, Aeq,beq,lb,ub)
上式中，A、b、Aeq、beq、lb、ub、x0、options均为可选项，如果数学模型中无该项参数，则用[]代替。 例如如果某一数学模型中没有等式约束，即无Aeq和beq参数，则调用的格式为： [x,fval]= linprog (f, A,b, [],[],lb,ub) 用linprog函数求解线性规划问题时，直接在MATLAB软件的Command窗口中调用，先将各个输入参数在Command窗口中赋值后，即可调用linprog函数。 3、实例 求使目标函数f(x)= －5 x1－ 4 x2－6 x3 取最小值时的x 的值，且满足约束条件为： x1－ x2＋x3≤20 3x1＋2 x2＋4x3≤42 3x1＋2 x2≤30 x1≥0，x2≥0，x3≥0 直接在MATLAB的Command窗口输入下列代码，即可求解，过程如下： f=[－5; －4; －6]; A=[1, －1, 1; 3 , 2 , 4 ; 3 , 2 ,0]; b=[20 ; 42; 30]; lb=zeros(3,1); [x,fval,exitflag,output]= linprog (f, A，b, [],[],lb,[],[]) 结果输出为： x=0.000 15.000 3.000 fval=－78.000 4、作业 用linprog函数求下列数学模型的最优解。 min f(X)= －7 x1－ 5 x2 s.t. 3x1＋x2≤90 4x1＋6 x2≤200 x1≤20 x2≤30 x1≥0，x2≥0
三、求解二次规划问题的函数quadprog 1 、quadprog函数要求数学模型的形式
在MATLAB优化工具箱中，用于求解线性规划的函数有quadprog，要求的线性规划的数学模型的一般形式为：
min f(X) =1/2*XT*H*X+fT*X X∈Rn s.t. A*X≤b Aeq*x=beq lb≤x≤ub
上式中，H：表示目标函数中变量的二次项的系数矩阵；其余参数同linprog函数中的含义。 2、quadprog函数的调用格式
调用格式如下： [x,fval]= quadprog (H，f, A，b, Aeq,beq,lb,ub)
上式中，A、b、Aeq、beq、lb、ub均为可选项，如果数学模型中无该项参数，则用[]代替。 例如如果某一数学模型中没有等式约束，即无Aeq和beq参数，则调用的格式为： [x,fval]= quadprog (H，f, A，b, [],[],lb,ub) 用quadprog函数求解二次规划问题时，直接在MATLAB软件的Command窗口中调用，先将各个输入参数在Command窗口中赋值后，即可调用quadprog函数。 3、实例 求使目标函数f(x)= 1/2 x12＋x22－x1 x2－2 x1 －6 x2 取最小值时的x 的值，且满足约束条件为： x1＋x2≤2 －x1＋2 x2≤2 2x1＋x2≤3 x1≥0，x2≥0 首先把目标函数写成以下形式：f(X) =1/2*XT*H*X+fT*X，其中 f(x)= 1/2 x12＋x22－x1 x2－2 x1 －6 x2
=1/2（
x12－x1 x2－x2 x1＋2x22）－2 x1 －6 x2
T?1?1??x1???2??x1? 1=?x,x?12???x????6??x??122???2????2?上式中H= ?1??1??1?，f= 2????2?
??6???直接在MATLAB的Command窗口输入下列代码，即可求解，过程如下： H=[1，-1；-1，2]；
f=[－2; 6]; A=[1, 1,；－1 , 2 ；2 ,1]; b=[2 ; 2; 3]; lb=zeros(2,1); [x,fval]= quadprog (H,f, A,b, [],[],lb) 结果输出略。 4、作业 用quadprog函数求下列数学模型的最优解。 min f(X)= x12＋x22－10 x1－16 x2 ＋89 s.t. x1－x2＋1≥0
x1≥0
10－x1≥0 x2－1≥0 10－x2≥0 x2－x1=0
四、MATLAB求解非线性优化问题的函数fmincon 1 、fmincon函数要求数学模型的形式
在MATLAB优化工具箱中，用于求解非线性规划的函数有fmincon，要求的非线性规划的数学模型的一般形式为：
min f(X) X∈Rn s.t. A*X≤b Aeq*x=beq lb≤x≤ub
c(X) ≤0 ceq(X)=0 上式中，c(X)：表示约束函数中的非线性不等式约束函数；ceq(X) 约束函数中的非线性等式约束函数。其他含义同linprog函数。 2、fmincon函数的调用格式
调用格式如下： [x,fval]= fmincon (@objfun，x0, A，b, Aeq, beq, lb, ub, @nonlcon)
上式中，objfun为目标函数的m文件函数名，自己命名，引用时前面需要加句柄@，或用单引号 ‘’引用 ；x0为给变量赋的初值；nonlcon为非线性约束的m文件函数名，自己命名，引用时前面需要加句柄@，或用单引号 ‘’引用；A、b、Aeq、beq、lb、ub、x0、options的含义同线性规划函数linprog。 3、上机编制程序求解过程 第一步：先编制目标函数的.m文件，并保存； 第二步：编制非线性约束的.m文件，并保存； 第三步：在MATLAB的Command窗口输入赋予x0的初值，以及线性约束、边界约束等输入参数的值后，即可调用fmincon函数，进行求解。 4、实例 求使目标函数f(X)= （ x1 －3）2 ＋ x2 2 取最小值时的X 的值，且满足约束条件为： x1 2＋x2－4≤0 x2－ x1≤2 x1≥0，x2≥0 该问题是非线性规划问题，其约束条件中含有非线性约束，求解过程如下：
（1）先编制目标函数的m文件，并保存为myobjfun.m，代码如下： function f=myobjfun(x) f=( x(1) －3）^2＋ x(2)^2;
(2) 编制非线性约束的.m文件，并保存为myconfun.m，代码如下： function [c, ceq]= myconfun (x) c =x (1) ^2＋ x(2)-4; ceq =[]; (3)在MATLAB的Command窗口输入下列代码，即可求解： x0=[1; 1]; A=[－1 ,1]; b=[2]; Aeq=[ ]; beq=[ ]; lb=[0; 0]; ub=[ ]; [x,fval]= fmincon (@myobjfun，x0, A,b,Aeq,beq,lb,ub, @myconfun) 结果输出略。 5、作业 用fmincon函数求下列数学模型的最优解。 min f(X)=25/（x1 x2 3） min f(x)??x1x2x3 min f(X)= x12＋x22－10 x1－16 x2 ＋89 s.t. 30/（x1 x2 3）－50≤0 s.t. 0?x1?2x2?2x3?72 s.t. x1－x2＋1≥0 10－4x1 x2≥0 10－x1≥0 2≤x1≤4 x2－1≥0 22min f(X)= x?x?xx?2x?5x 0.5≤x2≤1 121212 10－x2≥0 2s.t. ?(x1?1)?x2?0 x2－x1=0
2x1?3x2?6?0
作业五：设计一圆柱螺旋压缩弹簧，参数为：弹簧中径D、钢丝直径d、总圈数n。设计要求在F=700N作用下，产生10mm 的变形量。要求弹簧压并高度≤50mm，弹簧内径≥16mm，在满足强度条件下，要求设计的弹簧具有最轻的重量。根据设计要求和弹簧的受力分析，可得到下面的数学模型
2??2 min f(X)?x1x2x34 上式中， x1 表示弹簧中径 D ， x2 表示钢丝直径 d ， x3
38Fx1(x3?n0) 表示总圈数 n 。 s.t.
g(x)??10 其中：第一个约束为弹簧的变形量要求； 第二个约束为弹簧的压并高度要求； 第三个约束为弹簧的内径要求； 第四、五个约束为弹簧的旋绕比要求； 第六个约束为弹簧的强度要求；
第七到第十二个约束为弹簧的尺寸要求
（即边界约束要求）； 其中未知参数的取值为：
材料剪切模量G=81000N/mm2； 弹簧支承圈数n0=1.75； 弹簧终端类型系数? =0.5； 弹簧中径D和钢丝直径d的取值优先选用第一系列，有 D：8，9，10，12，16，20，25，30，35，40，45，50；
d：1，1.2，1.6，2，2.5，3，3.5，4，4.5，5，6，8，10，
12，16，20
试用MATLAB编程分别求解上述优化问题的最优解。
（分别把步骤、代码、结果写在另一张纸上，作为作业交）
作业六：教材166页实例。
1Gx42g2(x)?x2(x3??)?50g3(x)?16?x1?x2?0g4(x)?4?x1x?02g(x)?x15x?10?02g)?(x1?0.25x2x?0.615x2)8Fx16(x3?[?]?02?x1x1?x2g7(x)?8?x1?0g8(x)?x1?50?0g9(x)?1?x2?0g10(x)?x2?20?0g11(x)?1?x3?0g12(x)?x3?20?0