高二数学复习讲义-------简易逻辑
第1讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
【考向】
1．考查四种命题的意义及相互关系．
2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解．
3．考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题． 【复习指导】
复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判定．
基础梳理
1．命题的概念
在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 2．四种命题及其关系 (1)四种命题
命 题 表述形式 原命题 若p，则q 逆命题 若q，则p 否命题 逆否命题
(2)四种命题间的逆否关系
若綈p，则綈q 若綈q，则綈p
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件．
一个区别
否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法． 两条规律
(1)逆命题与否命题互为逆否命题； (2)互为逆否命题的两个命题同真假． 三种方法
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充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p?q”为真，则p是q的充分条件．
(2)等价法：利用p?q与綈q?綈p，q?p与綈p?綈q，p?q与綈q?綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
(3)集合法：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
双基自测
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1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a＞b”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________． 2．(2011·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )． \\A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b 3．(2011·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )． A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
ab
5．命题“若a＞b，则2＞2－1”的否命题为 .
考向一 命题正误的判断
【例1】?(2011·海南三亚)设集合A、B，有下列四个命题： ①A?B?对任意x∈A都有x?B； ②A?B?A∩B＝?； ③A?B?B?A；
④A?B?存在x∈A，使得x?B.
其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)． [审题视点] 对于假命题，举出恰当的反例是一难点．
解析 ①不正确，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，有A?B但2∈A且2∈B. ②不正确，如A＝{1,2}，B＝{2,3}，有A?B而A∩B＝{2}． ③不正确，如A＝{1,2}，B＝{2}，有A?B但B?A. ④正确． 答案 ④
正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学
思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．
【训练1】 给出如下三个命题：
①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；
ab
②设a，b∈R，且ab≠0，若＜1，则＞1；
ba
③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数． 其中不正确命题的序号是( )． A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
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考向二 四种命题的真假判断
【例2】?已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )．
A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题
x
B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题
x
C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题
x
D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题 [审题视点] 分清命题的条件和结论，理解四种命题间的关系是解题关键．
xx
解析 f′(x)＝e－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤e在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D. 答案 D
判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真
假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．
【训练2】 已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，如果f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( )． A．0 B．1 C．2 D．3
考向三 充要条件的判断
【例3】?指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B； (2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6； (3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B； (4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0， q：(x－1)(y－2)＝0.
[审题视点] 结合充分条件，必要条件的定义判断所给命题间的关系．
解 (1)在△ABC中，∠A＝∠B?sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件． (2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，显然綈q?綈p，但綈p?/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件． (3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件． (4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2， 所以p?q但q?/ p，故p是q的充分不必要条件．
判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二
是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题． 【训练3】 (2010·山东)设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的( )．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
难点突破2——高考中充要条件的求解 从近几年课改区高考试题可以看出，高考主要以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条
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件内容进行考查，一般难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查．考查形式主要有两种：一是判断指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件．
判断充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题虽然属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分． 一、充要条件与不等式的解题策略
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【示例】?(2011·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x＋y≥4”的( )． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、充要条件与方程结合的解题策略 【示例】? (2011·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
三、充要条件与数列结合的解题策略 【示例】? (2010·山东)设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的( )．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
四、充要条件与向量结合的解题策略 【示例】?(2010·福建)若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( )． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
五、充要条件与三角函数结合的解题策略
π
【示例】? (2010·上海)“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的( )．
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A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第2讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
【考向】
1．考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能用“或”、“且”、“非”表述相关的命题．
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2．考查对全称量词与存在量词意义的理解，叙述简单的数学内容，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【复习指导】
复习时应紧扣概念，理清相似概念间的异同点，准确把握逻辑联结词的含义和用法，熟练掌握对含有量词命题的否定的方法．本讲常与其他知识结合，在知识的交汇处命题，试题难度中档偏下．
基础梳理
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词． (2)简单复合命题的真值表： p q p∧q p∨q ?p 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 假 假 假 真 2.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．
(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．
(3)全称量词用符号“?”表示；存在量词用符号“?”表示． 3．全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题． 4．命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.
一个关系
逻辑联结词与集合的关系
“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题． 两类否定
1．含有一个量词的命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题
全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定?p：?x0∈M，?p(x0)． (2)特称命题的否定是全称命题
特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定?p：?x∈M，?p(x)． 2．复合命题的否定 (1)綈(p∧q)?(?p)∨(?q)； (2)綈(p∨q)?(?p)∧(?q)．
三条规律
(1)对于“p∧q”命题：一假则假； (2)对“p∨q”命题：一真则真； (3)对“?p”命题：与“p”命题真假相反．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)已知命题p：?x∈R，sin x≤1，则( )．
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