期末复习题
一单选题.
1.函数z?ln(x2?y2?1)?4?x2?y2的定义域是（ A ）
?（C）?(x,y)x2.直线l:（A）(x,y)1?x2?y2?4 （B）(x,y)1?x2?y2?4
2?y2??4? （D）?(x,y)x??2?y2?1
?解：x2?y2?1?0且4?x2?y2?0，则1?x2?y2?4.
x?1y?3z?2??与平面?:4x?3y?z?3?0的位置关系为（ C ） 2?15（A）l?? （B）l//? （C）l?? （D）前面答案都错
解:s?(2,?1,5),n?(4,3,?1)?s?n?0?s?n?l//?或l??取直线l上一点M(1,-3,-2),将点M代入平面?的方程4x+3y-z+3=0中成立.?l??.3.设I???sin2xsin2ydxdy，其中D:0?x??,0?y??，则由二重积分的性
D质可知（ D ）
(A)0?I?1 (B)0?I?? (C)??I??2 (D)0?I??2
解：0?x??,0?y???0?sin2xsin2y?1且SD??2?0?I??2 4.下列描述正确的是（ D ）
（A）函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数存在，则函数在该点处一定连续； （B）函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的偏导数存在，则函数在该点处一定可微； （C）若limun?0，则级数?un一定收敛；
n???n?1（D）微分方程y???2y??3y?0的通解是：y?C1e?x?C2e3x。
解：(D)特征方程为r2?2r?3?0?r1??1,r2?3则通解为y?C1e?x?C2e3x. 5.下列数项级数中，发散的级数是( C )
?1?2n?1(A)??n?n? (B)?n；
3?n?1?2n?13??1??11??1(C)??n?? (D)??n?3?
3?n?n?1?2n?1?2?1?111解：(A)?n与?n分别为q?,q?的等比级数，收敛。23n?12n?13?22(B)?()n为q?的等比级数，收敛。3n?13???11111 (C)?n为q?的等比级数，收敛。发散，则?发散。??n22323n?1n?1n?1???11111(D)?n为q?的等比级数，收敛。为p?3?1的p级数，则?3收敛。??3n22n2nn?1n?1n?1二.填空题.
?1.极限lim3?xy?9?
x?0xyy?0解：I=lim?xy?11?lim??
x?0xy(3??03?6xy?9)xxy?9y?0y?02.微分方程exdx?eydy?0的通解为
xyxyxy解：方程ex?ey?0两边分离变量积分得，?edx??edy?e?e?C?e?e?C.
3.设I????x?2?dxdy，其中D:0?x?2，0?y?1，则I? D10121112解：I??dy?(x?2)dx??[x2?2x]0dy??6dy?6y00020?6.
4.设z?f(x,y)是由方程ez?xyz?0所确定的隐函数，则dz?
解：设F(x,y,z)?ez?xyz,则Fx??yz,Fy??xz,Fz?ez?xy由公式法得，zx??则dz?zxdx?zydy?5.设I?FFxyzxz?z,zy??y?zFye?xyFze?xyyzxzdx?dy.zze?xye?xy
22，其中2dxdyD:x?y?4，则I? ??D解：I?2??dxdy?2SD?2?4??8?.
Du三、已知z?esinv，而u?xy，v?x?y，试用多元复合函数求导法计算
?z?x和
?z (要求作出复合结构图)。(10分) ?y解：该函数的复合结构图为：
xu
z
yv
?z?z?u?z?v?eusinv?y?eucosv?1?eu(ysinv?cosv) ?故??x?u?x?v?x?exy[ysin(x?y)?cos(x?y)]
?z?z?u?z?v?eusinv?x?eucosv?(?1)?eu(xsinv?cosv) ???y?u?y?v?y?exy[xsin(x?y)?cos(x?y)]
四、在曲面xy?z?0上求一点，使该点的切平面平行于平面x?3y?z?9?0，并写出该切平面方程。(10分) 解：设所求点是(x0,y0,z0)，
则该点的法向量n1?{y0,x0,?1}与已知平面的法向量n2?{1,3,1}平行， 故
y0x0?1??，即x0??3,y0??1，从而z0?3，即x0??3,y0??1，从而131z0?3故所求点为(?3,?1,3)
该点处的切平面方程为：(x?3)?3(y?1)?(z?3)?0 即x?3y?z?3?0 五、求函数f(x,y)?x3?y3?3xy的极值。(10分)
解：fx(x,y)?3x2?3y，fy(x,y)?3y2?3x
fxx(x,y)?6x；fxy(x,y)??3；fyy(x,y)?6y
2??3x?3y?0解方程组?2得驻点(0,0)和(1,1)
?3y?3x?0?
驻点 (0,0) A B C B2?AC f(x,y)
0 6 (1,1) ?3 ?3 0 6 9>0 ?27?0 无极值 极小值 由上可知，函数在(1,1)处有极小值f(1,1)??1
六、计算??xyd?，其中D是由抛物线y?x2及直线y?x?2所围成的闭区域。
D（要求画出积分区域）(10分) 解：（准确画出图形）
如图，区域D属于X-型，且可表示为：?1?x?2;x2?y?x?2 故??xyd???dx?2xydy?D?1x2x?245 8七、求幂级数?1n?1（10分） x的收敛域与和函数。
n?1n?0?解：因??liman?1n?1?lim?1，所以，收敛半径为R?1
n??an??n?2n?1发散，
n?0n?1?1在x??1处对应的数项级数?(?1)n?1收敛，
n?1n?0?1n?1所以，级数?x的收敛域为[?1,1).
n?0n?1在x?1处对应的数项级数?在[?1,1)上，设s(x)???1n?1x
n?0n?1???1n?1?1?x???xn?则s?(x)???
1?x?n?0n?0?n?1对上式两端同时从0到x积分，得 s(x)?s(0)??x11dx???d(1?x)??ln(1?x) 01?x01?xx1?x). 又s(0)?0，从而得s(x)??ln(
八、计算二重积分I???(x2?y2?x)dxdy，其中D是由直线y?2,y?x及y?2x所
D围成的闭区域（画出积分区域）。(10分)
解：（准确画出图形）
y如图，区域D属于Y-型，且可表示为：0?y?2;?x?y
2故
I??dy?y(x2?y2?x)dx??022y221912?32?1323x?yx?xdy?(y?y)dy???024y328??2y01?13?19??y4?y3?? 2
?968
?06