一.判断题:
1、平面P的一个运动是平面P的一个保距变换 （ T ） 2、群G的所有子群的交与并均为其子群 （ T ） 3、有限群中每个元素的阶都是群的阶的因子 （ F ） 4、任何n阶有限群都同n次对称群Sn的一个子群同构 （ T ） 5、设I和S是环R的理想且I?S?R，如果I是R的极大理想，则S?0 （ T ） 6、如果环R的阶R?2，那么R的单位元1?0 （ F ） 7、模5剩余类环Z5的特征为5 （ T ） 二.填空题
1、设集合A有一个分类，其中Ai与Aj是A的两个类，如果Ai?Aj，那么Ai?Aj?? 2、设G?a为循环群，若a??，则G同构于 整数群Z 3、整数环Z的全部理想为n?0,1的所有rn(r?R) 4、在剩余类环Z12中，零因子是 {2},{3},{4},{6},{8}.{9},{10} ，可逆元是 {1},{5},{7},{11} 5、有单位元的整环R的一个元素p叫做R的一个素元，如果 P既不是零元，也不是单位，并且P只有平凡因子 6、在2，i?3，?，e?3中，e?3是有理数域Q上的代数元
7、幂零元：某个环R的一个元素x是一个幂零元，当且仅当存在一个正整数n，使得x等于加法中的零元素。
n2
三、单项选择题
1、设A是实数集，A的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是（ C ）
xA．f:x?10； B. f:x?2x；
C. f:x?x； D. f:x??x
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2、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a?bxc?1,acx?xac，那么x?（ A ）
A．bca； B.ca； C.abc； D.bca
3、设S3??(1),(12),(13),(23),(123),(132)?，则S3中与元素（123）不能交换的元素的
个数是( C )个。
A．1； B.2 ；
C.3 ；
D.4；
?1?1?1?1?1?1?14、令F2?2为域F上的2阶全阵环，设I1????b????ab????a0????I?a,b?F，?a,b?F?2???，??0???00???则 （ B ）。A．I1是环F2?2的一个右理想； B. I1是环F2?2的一个左理想； C. I2是环F2?2的一个左理想； D. I2是环F2?2的一个理想 5、设f:R?R是环同态满射，那么下列错误的命题是（ D ） A．R的子环的象是R的子环； B. R的理想的象是R的理想； C. R的零元的象是R的零元； D. R的零因子的象是R的零因子 四、解答题
2、找出12阶循环群a的全部生成元和所有子群
1解：生成元 aa5a7a11
所有子群{e}.G
?a2??{e,a2,a4,a6,a8,a10}?a3??{e,a3,a6,a9,}?a??{e,a,a}?a6??{e,a6}3、求模7剩余类环Z7??0,1,2,3,4,5,6?上2次多项式x?x?1 在Z7内的所有根
2448
解：设根为m，则1，而?1?6 ?(m?2)(m?3)?0 即有 7_________(m?2)(m?3) ?m?2,4 ?Z7的所有根为2,4
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_?_
五、证明题 1、设R??????ab????0x?????I?a,b?Zx?Z关于矩阵的加法和乘法构成一个环， ????，????00????00??证明：I是R的理想
?ab??0b?证明：设R的两个解，R1???00??，R2???00??，R1?R2?R
?????00??00??? I是R的右理想 R1.I??R.I??2?00??00?? ?I是R的左理想 ???? ?I是R的理想
2、在Gauss整环Z?i?中，如果??Z?i?，且?解：设?2?p是素数，则?是Z?i?的不可约元
?Z[i]是?的任一因子，则????Z[i]使????
? |?|2?|?|2|?|2?p为素数 ? |?|2?1或|?|2?1 ??或?是单位 ??是?的平凡因子 ??是不可约元
3、设G是群，K? G ，H?G，（1）证明：K?H?H；（2）利用群同态基本定
理证明：HK?H?KHK
证明：? K?G,H?G ?HK?G K?ek?HK ， ?x?HK?G Kx?xk
K?HK ，
?n?H?K h?H 有
h?h?1?H h?h?1?K
?h?h?1?H?K ?K?H?H
令?:H?HKK
?hk?HKh?Hk?K
Khk?h?K?HK?Kh??(h)
??是满射 ?h1,h2?H ?(h1,h2)?Kh1h2?Kh1kk2??(h1)?(h2)
Ke?.??{x?H|?(x)?K}?{x?H|Kx?K}?{x?H|x?K}?H?K
?成立
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4、设R是阶大于1的环，R只有平凡理想，证明：当R有单位元且可换时，R是一个域
证明：?R只有平凡理想 ?R除{0}， R外无其他左理想 在R任取元素a?0 显然Ra?{ra|r?R}是R的一个左理想
?R有单位元 a?Ra Ra?0 ?Ra?R?方程 ya?b(b?R)在R中有解?R内除环 ?R可换 ?R是域
定理1. 假定G与G对于他们的乘法来说同态，那么G也是一个群. 证明
__G显然适合群定义的条件Ⅰ. G的乘法适合结合律，而G与G同态，由Ⅰ，8，定理1，G的
_____乘法也适合结合律，所以G适合群定义的条件Ⅱ.我们证明G也适合Ⅳ，Ⅴ两条. Ⅳ.G有单位元e.在所给同态满射之下，e有象e：e_?e
_
我们说，就是的一个左单位元.假定是的任意元，而是的一个逆象：a那么ea?a
_?ea
___但ea?a 所以ea__?a
___Ⅴ.假定a是G的任意元，a是a的一个逆象：a?a
____?1_a是群G的元，a有逆元a那么a但a?1?1.我们把a?1的象叫做a：a?1?a____?1
?1a?aa
______?1a?e?e
所以a_____?1a?e
____?1_这就是说，a
是a的左逆元，也就是a的逆元.证完.
__
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