数值分析（研究生，开卷）（1/14/2011）
学院：_______ 姓名：__________ 学号：____________
1.（10分）求函数f(x)?x在区间[0，1]上的最佳平方逼近多项式（多尺度展开）
12?1,0?x?1 g(x)???ci,k?i,k(x)，其中?i,k(x)?2?(2x?k)，而?(x)??0,otherwise.i?0k?0?11i/2i
2．（15分）在求解线性代数方程组
?5765??x1???71087??x?????2????68109??x3???????57910???x4??1?2??， 1??2?时，如果采用四位有效数字进行计算（Gauss列主元消去法），我们发现误差很大，请通过数值分析的方法分析导致误差很大的原因？
3.（15分）如果在区间[-1，1]上，我们用次数不高于3次的多项式p(x)对函数
f(x)?ex?1进行插值，误差界是多少？如果要求误差界降低一半，问可以采用哪些简单易行的方法，并验证你的方法？
4.（15分）用Newton迭代法求方程2x2?6e?x?4在区间（0，1）内的解，选择你认为合适的初始点，计算方程的根，使得近似解的相对误差不超过10?2。请从理论上估计达到所需精度所需的迭代次数。
5.（15分）用G-S迭代法解方程组
?3?10??x1??1??16?2??x????4? ???2?????0?38????0???x3???对于你所给定的初始值，估计精度达到10?3需要的迭代次数，并实际计算之。计算该迭代的渐进收敛速度，并估计计算结果的误差为初始误差1%需要的迭代次
数。
6. （10分）应用修正的Newton方法解非线性方程组
?x?cosy?exy?0?sin ??1
??tan(x?y)?xy?0取[0,0]T作为初始值，终止容限??10?2。
7.（10分） 试求数据（-1，0），（0，2），（1，3），（2，1）的最小二乘拟合g(x)?a?bx2。
8. （10分）用自适应Simpson公式计算积分 I(f)??sinxdx 0x1讨论在误差要求不超过10?3的条件下的步长，并比较实际计算结果与精确结果。