初中数学竞赛专题讲解最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
【十二个基本问题】
【问题1】 AlB作法 A图形 原理 连AB，与l交点即为P． PBl两点之间线段最短． PA+PB最小值为AB． 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 【问题2】“将军饮马” ABl作法 A作B关于l的对称点B＇连A B＇，与l交点即为P． 图形 原理 BPB'l两点之间线段最短． PA+PB最小值为A B＇． 在直线l上求一点P，使PA+PB值最小． 【问题3】 l1作法 P'分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇图形 l1原理 Pl2MPNP''l2两点之间线段最短． PM+MN+PN的最小值为 线段P＇P＇＇的长． P＇＇，与两直线交点即为M，N． 在直线l1、l2上分别求点M、N，使△PMN的周长最小． 【问题4】 l1QPl2作法 Q'图形 l1QPNP'l2原理 分别作点Q 、P关于直线l1、l2的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N． M两点之间线段最短． 四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长． 在直线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小． - 1 -
【问题5】“造桥选址” AMNBmn作法 A图形 原理 将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交n于点N，过N作NM⊥m于M． A'MNB两点之间线段最短． mnAM+MN+BN的最小值为 A＇B+MN． 直线m∥n，在m、n，上分别求点M、N，使MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小． 【问题6】 AB作法 将点A向右平移a个长度A图形 A'B原理 MaNl单位得A＇，作A＇关于l的对称点A＇＇， 连A＇＇B，交直线l于点N，将N点向左平移a个单位得M． A''MNl两点之间线段最短． AM+MN+BN的最小值为 A＇＇B+MN． 在直线l上求两点M、N（M在左），使MN?a，并使AM+MN+NB的值最小． 【问题7】 l1Pl2作法 P'图形 l1Pl2原理 作点P关于l1的对称点P＇，作P＇B⊥l2于B，交l2于A． 点到直线，垂线段最短． PA+AB的最小值为线段P＇B的长． AB在l1上求点A，在l2上求点B，使PA+AB值最小． 【问题8】 l1NAMBl2作法 图形 B'l1ANMA'Bl2原理 作点A关于l2的对称点A＇，作点B关于l1的对称点B＇，连A＇B＇交l2于M，交l1于N． 两点之间线段最短． AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长． A为l1上一定点，B为l2上一定点，在l2上求点M，在l1上求点N，使AM+MN+NB的值最小． 【问题9】 ABl作法 A图形 原理 垂直平分上的点到线段两B连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P． P端点的距离相等． l在直线l上求一点P，使PA?PB的值最小． PA?PB＝0．
- 2 -
【问题10】 作法 图形 原理 A BA三角形任意两边之差小于 l作直线AB，与直线l的交B第三边．PA?PB≤AB． 点即为P． l在直线l上求一点P，使PPA?PB的最大值＝AB． PA?PB的值最大． 【问题11】 作法 图形 原理 AA 三角形任意两边之差小于 l作B关于l的对称点B＇B'B?PB≤AB＇． 作直线A B＇，与l交点即l第三边．PA为P． BP在直线l上求一点P，使PA?PB最大值＝AB＇． PA?PB的值最大． 【问题12】“费马点” 作法 图形 原理 A 所求点为“费马点”，即满 足∠APB＝∠BPC＝∠D A BECAPC＝120°．以AB、AC两点之间线段最短． 为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交PPA+PB+PC最小值＝CD． △ABC中每一内角都小于BC120°，在△ABC内求一点于P，点P即为所求． P，使PA+PB+PC值最小． 一、基础过关
1.如图所示，是一个圆柱体，底面周长为10,高为6,一只蚂蚁要从外壁的A处到内壁的B处吃一食物,求
蚂蚁所走的最短程 .
2.如右图是一个长方体木块，已知AB?3,BC?4,CD?2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
3.正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM?2，N是AC上的一动点，DN?MN的最小值为 。
4.在菱形ABCD中，AB?2，?BAD?600，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE?PB的最小值为 5.如图，在?ABC中，AC?BC?2，?ACB?900，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则
EC?ED的最小值为 第1第2题 第3题 D第4题 题 D
C
PACAB6.ABA 是⊙O的直径，B EAB?2B，OC是⊙O的半径，OC?AB，点D在AC上，图(2)D为AC的三
等分点，点P是半径OC上的一个动点，则AP?PD的最小值为
- 3 -
第5题 7.如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为
8.如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是 ．
9.如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
A
D
OC P B图(3)CDMANB
第6题 第7题 第8题 第9题 二、例题讲解
例1：已知：直线y?11x?1与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y?x2?bx?c与直线交于A、E两22点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形且以P为直角顶点时，求点P的坐标． （3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM?MC|的值最大，求出点M的坐标．
y
例2：如图，抛物线y?ax?bx?c的顶点P的坐标为?1，??2E A D O B C x ??43?，交x轴于A、B两点，交y轴于点??3?- 4 -
y D C(0，?3)．
（1）求抛物线的表达式．
（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．
判断四边形ADBC的形状，并说明理由．
（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，
若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
例3：如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点． （1）点D的坐标为 ；
（2）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标．
例4：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求
m。 n- 5 -