线性代数模拟题(3)
一、填空、选择题（每题3分，共18分） a11a12a134a112a11?3a12a131. 若a21a22a23?1,则4a212a21?3a22a23? ; a31a32a334a312a31?3a32a33?130??12. 设A???010??，B??00??020??，则?AB??1? ; ??001????003??3. 设αTT1??t,?1,?1?,α2???1,t,?1?,αT3???1,?1,t?线性相关，则t= ; 4. 设β1,β2是非齐次线性方程组Ax?b的两个不同的解，α1,α2是Ax?0的基础解系，则Ax?b的通解为 (A) kβ1?β2 (B) kβ?β21α1?k2α2?1α1?k2α122?2 (C) kβ?β2β1?β21β1?k2β2?12 (D) k1β1?k2β2?2 5. 已知A是4阶矩阵，若A的特征值是1,-1,2,4，则可逆的矩阵是 (A) A?E (B) A?E (C) 2A?E (D) A?4E ??112?16. 设实对称矩阵A????1203??是二次型f?x1,x2,x3?的矩阵，则二???132??次型f?x1,x2,x3?= 二、求解下列各题（共22分） 13?a?311.（7分）计算行列式D?13?3?a113?31?a. 1?a3?31?212.（7分）设A=?0??120??,矩阵满足ABA*?2BA*?E，其中A*为A的??001??伴随矩阵，求矩阵B. 3.（8分）设n阶矩阵A满足A2?3A?2E?O, (1)证明矩阵A?E可逆，并求其逆；(2)说明A的特征值只能取1或2. 三、（6分）已知α1,α2,?,αr是齐次线性方程组Ax?0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax?0的解，试证向量组β,β?α1,β?α2,?,β?αr线性无关。 a1?10?00a2x?1?00四、（10分）计算n阶行列式Dn=a30x?00?????? an?100?x?1an00?0x其中a1,a2,?,an均不为0。 线性代数模拟题(3)
五、（10分）（线性代数Ι学生做）已知向量组： αTTT1??1,1,1?,α2??0,1,1?,α3??1,0,1?, (1)用施密特正交化方法将向量组α1,α2,α3化为规范正交向量组； (2)将β??1,2,3?T用该规范正交向量组线性表示。 五*、（10分）（线性代数Π/S学生做）在线性空间R3中给出两组基 εTTT1??1,2,1?,ε2??1,1,1?,ε3??1,1,0? η1??1,3,5?T,ηT2??6,3,2?,η3??3,1,0?T (1) 求由基ε1,ε2,ε3到基η1,η2,η3的过渡矩阵P； (2) 若向量α在基η1,η2,η3下坐标为?1,0,?2?T，求α在基ε1,ε2,ε3下的坐标。六、（10分）已知向量组 ??1?α??1??0??3??1??2????3????0????t????1???2?,α??,α??1?2?3????1???7?,α4???2?,α5??5? ?4????2????14????0??????6???(1) 当t为何值时，向量组的秩为3； (2) 求出此时向量组的最大无关组，并将其余的向量用最大无关组线性表示。七、（10分）求下列方程组的通解 ??2x1?3x2?x3?3x4??7??x1?2x2?2x4??4?3x1?2x2?8x3?3x 4?0??2x1?3x2?7x3?4x4?3八、（14分）用正交变换化二次型 f?x2221x2,x3??2x1?5x2?5x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3为标准型，写出所用的正交变换，并判断二次型是否正定。