第三期：根轨迹法
2001年
（三）单位负反馈系统的开环传递函数为
（胡梓楠….张鹏 录入：张巍）
2003年
（三）已知单位负反馈系统的开环传递函数为
G(s)?k(s?5) 画出k?0时，闭环传递
s(s?4.8)G(s)?K
(s?4)(s2?2s?2)试做K>0时闭环系统的根轨迹,并确定使闭环传递函数主导极点的阻尼比?=0.5时的K值 解:
根据画根轨迹各项法则:
开环传递函数有三个开环极点
无零点,则有3条根轨迹,P1??4,P2.3??1?y，分别起于P1,P2,P3,终于无穷远. 渐近线为?a?函数的根轨迹，并确定使闭环系统稳定时k的
取值范围。
解：开环极点： s?0,s?4. 8 开环零点： s??5
渐近线 ： n?m?1 斜率为0 分离点 ：
2111?? dd?4.8d?5 即： d?10d?24?0 ? d1?2,d2??12 求与虚轴交点对应的k值：
闭环特征方程为：s?4.8s?ks?5k?0
若解为纯虚数，设其为?jw，显然有
2(2k?1)??5??,?,
n?m33 ?a?起
2?P??Zii?1i?1nmjn?m??2
角
,
始
121232?4.8?k?0?k?4.8
所以使闭环系统稳定时k的取值范围是
k?4.8 Root Locus8
6 4
2
0
-2 -4 -6
-8 -14-12-10-8-6-4-2 Real AxisImaginary Axis?P?180???PP??PP??PP?180??18.4??90??71.6?
令?P??71.6?
3s???jw,由题意
??0,??arccos0.5?60?
所以,闭??tan60??3, 所以,s???j3? ?环2特征方
程,D(z)?(s?4)(s?2s?2)?k?0 代入s???j3? 解得,???,k?4.03
246
0561
（张雅彬…胡梓楠 录入：肖鲲）
2004年 ．已知单位负反馈系统的开环传递函数为
K?(s2G(s)=-2s+5)(s+2)(s-0.5)
按步骤绘制K>0(K=5K?)时闭环系统的根轨迹;并确定使闭环系统稳定时K的取值范围和闭环极点为稳定的实极点时K的取值范围.
解: G(s)?K?(s2?2s?5)K?(s-1?2j)(s-1+2j)(s?2)(s?0.5)?(s?2)(s?0.5) K=5K?
开环极点: p1??2;p2?0.5 开环零点: z1?1?2j;z2?1?2j 闭环
特
征
方
程
:
D(s)?(s?2)(s?0.5)?K?(s2?2s?5)?0
1. 绘制根轨迹:
① n=2,有两条根轨迹(n为开环极点数)
② 两条根轨迹分别起始于p1 p2,终止于z1 z2. ③ 求分离点坐标d;
由闭环特征方程得 K???(s?2)(?s0.5)(s2?2?s5
)2
令dK?ds?0(只考虑分子为0即可)
得 3.5s2?12s?5.5?0 ? s1?3.84(舍去) ,s2??0.41
?d??0.41
m也可用?1n?j?1d?z?1求d,但用在此题ji?1d?pj中计算过程较繁! 将s=d=0.41代
入模值方程
)?1:K?(0.412G(s?2?0.41?5)(s?2)(s?0.5)?1
得: K?d?0.242
④ 分离角: ?90?(具体判断方法参考P138最后一段话,很有经验性,不用记公式)
⑤ 与虚轴交点:将s=jw代入闭环特征方程
D(s)=0 得
:
jw?2)(jw?0.5)?K?(?w2?2jw?5)?0????w2(?
解得: K??K?11?5时w?0; K??K?31?4时w??j117??1.25j m⑥ 终止角 公式 ?zi?(2k?1)????zjzi?j?1?
i?j?zi?180???(z1?z2)??(
?180???[1?2i?(1?2i)]??[(1（三）
3.绘制各种根轨迹的详细步骤,概念,公式可参考
?180???4i??3?2i??0.5?2i?199.65??200?书P141?142页还有一张总结好的117?145内容P?由对称性: ?z2??200
综上,可绘制根轨迹如图
绘制根轨迹的基本法则,实在不行可以把它扯下来背熟,开玩笑啦
Root Locus2 （张鹏…张雅彬 录入：张孝功）
睿智囊： -------------------------------------一道自控习题的辨析---------------------------------------------- --------阎循石供 课本P166 4-7题：设系统的闭环特征方程如下：D(s)=s21.510.5Imaginary Axis0-0.5-1系统?s?a??k(s?1)?0当a取不同值时，
-1.5-2-2-1.5-1-0.5Real Axis02.a.根据系统稳定性得根轨迹判据(根轨迹一直在s
平面左半平面时系统稳定),并结合所绘根轨
??迹图知,当K1即?K??K2的根轨迹(0 有两个和没有分离点三种情况，试分别确定每种情0.511.5况下a的范围，并作出其根轨迹图。 有很多同学在看到这道题时往往一下子会想到韦达定理来求解a的范围，就像下面的推导 13?K??时闭54G(s)H(s)?k(s?1)k(s?1)G(s)H(s)?s2(s?a)s2(s?a)(1.1) 环系统稳定又K?5K得 K范围: ?。。。。。。。。。。。。。。 1?K?1.25?1??d等效开环极点p1?p2?0,p3??a,等效开环零点 b.由所绘根轨迹知, K?K?K即 z1??1，则分离点满足下述方程 211?? dd?ad?1整 理 得 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2d?(a?3)d?2a? 0。。。。。。。 (1.2) 1?K??0.242时,闭环极点为稳定的实极5?点,又K?5K,得K范围: 1?K?1.21 1.本题所求范围为K的而非K要审清题意. 2.求系统闭环系统稳定的K的范围,也可列出闭环特征方程.运用林纳德-奇帕特判据或劳思判据(P91?92),但当已绘出根轨迹时,根据根轨迹上的特征点所对应的K值来求范围要方便得多. 3 ? s(s?a)(s?1)?0 2??(a?3)2?4?2?2a?a2?6a?9?16a?(a?1)(a?9 有以下结论 当a<1或a>9时 有两个分离点 当a=1或a=9时 有一个分离点 当1 如果大家将根轨迹与数学推导结合起来，就会发现以上结论是不正确的，为什么我们画出的根轨迹与数学推导不符呢？大家可以翻开课本133页有关分离点坐标公式得推导，发现题设中未提k的取值范围，即在通常要求0 由 (1.3)可得 **点 当0 将(1.11)代入(1.12)中（即a>1时，也可以写作a?9） ?a??(3?a)? a(?1a)?(49)??1?a?9 ?a??(3?a)?(a?1)(a?9)??1?a?9 4当a=9时，d1?d2 有一个分离点 当a>9时，d1?d2，有两个分离点 d1,2??(3?a)?(a?1)(a?9) 。。。。。。。。。。。。。。 4当1 综上所述 a>9时， 有两个分离点 2s(s?a) a<0或a=9时， 有一个分离点 ?0 由闭环特征方程 k??s?1 0 即 以上解法显得比较复杂，目的是让大家强化 一个概念0?k??时于求解分离点的影响，即有时 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。s2(s?a)(s?1)? 0虽可以求出分离点，但此时对应的k?0时必须舍 。。。。 (1.5) 掉。如果大家再遇到此类题目，可采用边推导边画 分离点d满足(1.6) 式 根轨迹相结合的方式来求得正确结果，而本题的解 法则可以用来验证结果的正确与否。这在根轨迹比 d2(d?a)(d?1)?0 d?0 较复杂时显得尤为有效。 当 <1时 a-1 将(1.9) 代入 (1.10)中（即在a<1时） 复习。如果我们了解到出题上有什么变动，我们会 及时在以后的学习专刊上告诉大家。 ?(3?a)?(a?1)(a?9)由于小组人数有限，出题内容不能完全涵盖真题，1???a?a?04请大家谅解。 2.回答六班同学问的一个问题： 。。。 (1.4) 1? ?(3?a)?(a?1)(a?9)??a?无解4在a<1时条件下：当a<0时 有一个分离 4 解:设图中A点电位为UA.由虚短虚断原则, UB?UC?0 试求图示运算放大器电路的传递函数 解： Eo(s)Eo(s) Ei(s)Ei(s)UB(s)?Ei(s)1??UA(s) （由A，B间虚1CSR2?CSVIUBA?UA?? 代入阻值 R1R2R2 5VI??UA -----① 8UBAUACUAD??由KCL,得 即 R2R4R3?UAUAUA?VC1?? R2R4R313代入阻值 V01?UA ------② 4∴ 短所得） UA?Ei(s)Eo(s)?UA(s)?R1R113V0126?4?? ① ②联立 AVI?5VI5?8VACUCEUA?U02?? 即 R4R5R4R55U02??UA 25?V01∴AV2??2?4 5VI?8又∵ ?2UA?Eo(s)?Ei(s) （由A处虚断所得） 二式联立可得： Ei(s)R2(s)??1CS?E(s)?Ei(s)1?oCS2 2002年第三题 理想运放构成的电路如图所示 ,写出放大倍数(张巍 录入：李琳怡) A?V0VI表达式 + 2001年第四题 理想运放电路如图所示,试求 - 1. AV1?V01VI 解:由虚短虚断原则, UC?UD?V0 且CE支路无电流 2. AV2?V02VI Eo(s)1?R2CSE(s)1?R2CS ??o?Ei(s)1?R2CSEi(s)1?R2CS5