第一章 行列式
一、单项选择题
1.行列式D非零的充分条件是( D )
(A) D的所有元素非零 (B) D至少有n个元素非零 (C) D的任何两行元素不成比例
(D)以D为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式
k?122k?1≠0的充分必要条件是（ C ）
A．k≠-1 B．k≠3 C．k≠-1且k≠3 D．k≠-1或≠3 3．已知2阶行列式
a1a22b2b=m ,
b1b1b2c1c=n ,则
b12a1?c1a2?c=（ B ）2A.m-n B.n-m C.m+n D.-（m+n）
xyz2x2y2z4.设行列式403?1,则行列式401?（ A ）1113
111A.23 B.1 C.2 D.83 5．下列行列式等于零的是(D )
3210030?103?16A .?321 B. 0?10 C． 300 D． 224
00113000116201?116．行列式?101?11?101第二行第一列元素的代数余子式A21=（ B）
?11?10A．-2 B．-1 C．1 D．2
?3x1?kx2?x3?8．如果方程组?0?4x?2?x3?0有非零解,则 k=（ B ）
?4x2?kx3?0A.-2 B.-1 C.1 D.2
0ab09．（考研题）行列式
a00b0cd0=（ B ） c00dA.?ad?bc?2
B.??ad?bc?2
C.a2d2?b2c2 D.b2c2?a2d2
二、填空题
1.四阶行列式中带负号且含有因子a12和a21的项为 a12a21a33a44 。
1112. 行列式234中（3，2）元素的代数余子式A32=___-2___.
4916?157?83. 设D?111120?96，则5A14+A24+A44=_______。 ?3437?1575解答：5A111114+A24+A44=
20?90??150 ?3431a214．已知行列式230?0，则数a =____3______.
1?11ab05．若a,b是实数，则当a=___且b=___时，有?ba0?0。
?10?1ab0解答：?ba0??aba2?b2)?0 ? a=0, b=0
?10?1?ba??(x?2?236. 设f(x)?12x?34，则x2的系数为 23 。 ?2?13x?100013
00032
7. 五阶行列式00183?___________。
0207530026
00013000321解答：00183?(?1)2?3?13?2?42
02075323300261a1a2a38. （考研题）多项式f(x)?1a1?xa2a31a1a2?x?1a的所有零
31a1a2a3?x?2点为 x1?0，x2??1，x3??2 。
xbcd9、（考研题）设f(x)?bxcd，则方程
f(x)?0的根为bcxx? 。
dbcdx【分析】 f(x)是关于x的四次多项式，故方程f(x)?0应有四根，利用行列式的性质知，当x?b,c,d时，分别会出现两行相等的情况，所以行列式为零，故x?b,c,d是方程的三个根。
再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为
x?b?c?d，所以当x??(b?c?d)时，满足f(x)?0，所以得方程的
第四根x??(b?c?d)。
故方程的四个根分别是：b,c,d,?(b?c?d)。 二、计算题
00010002001、计算D?02012000。
2013000000002014【分析】方法一：此行列式刚好只有n个非零元素
a1n?1,a2n?2,?,an?11,ann，故非零项只有一项：
(?1)ta1n?1a2n?2?a(n?1)(n?2)n?11ann，其中t?2，
(2014?1)(2014?2)因此 D?(?1)22014!?2014!
方法二：按行列展开的方法也行。
12342、计算行列式 D?23413412。 4123分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加法).
解 这个行列式的特点是各列4个数的和为10 ，于是，各行加到第一行，得
1
12D?342341341241010101011123412310??23412343412341141211 23111?15、计算行列式
131?2111?1的值。
9274?8【分析】 行列式特点是各列（各行）元素之和都是a?(n?1)b，故可把各行（各列）元素均加至第一行，提出公因子a?(n?1)b，然后各行再减去第一行：
11111111?10012?1012?101?2?1?1000?40?160
0?3?2?1000?4122?2222?23．计算223?2的值。
????222?n122?2?120?0222?2020?0解： 223?2?021?0
????????222?n020?n?220?0??21?0????=?2(n?2)!
20?n?2a?10000a?50a?64、计算5阶行列式：D?00a?900a?70a?8a?3000【分析】 仿照上题的思路。
a?1a?2D?(a?9)a?5a?6a?7a?8a?3a?4a?1a?2?(a?9)a?3a?4a?5a?6
a?7a?8?(a?9)a?1a?2a?5a?6a?3a?4a?7a?8?4(a?9)
a?200的值。0a?4分析 经过仔细观察会发现，这个行列式是个4阶范德蒙行列式的转置，所以利用范德蒙行列式的结论就可轻松算出行列式的值为240。
43000143006、行列式01430= 。
0014300014分析 对于此类三对角行列式，一般采用的是递推法。 按第一列展开，有
43003000D?1430?14304305?40143?(?1)2?10143?4D4?3?143?4D4?3D3 00140014014故有D35?D4?3(D4?D3)?32(D3?D2)?3(D2?D1)?33(16?3?4)?35 于是D55?D4?35?(D3?34)?35?[(D52?33)?34]?3?D1?32?33?34?3?364
1?11x?17.求行列式1?1x?1?11x?11?1的值。
x?1?11?1【分析】 利用行列式的性质，将第2，3，4列加到第1列上得
1?11x?1x?11x?11?11x?11?1x?1?1?1x?1?11?1x?1?11x?11?1?xxx?11?1?x1x?11?1x?1?11?1x?11?11?11?11?11x?1
0x?x0x?x?x00x0?x?xx0?x?x4000?x00?xabb?bbbab?bb8、计算n阶行列式
Dbba?bb。
n???????bbb?abbbb?baa?(n?1)ba?(n?1)ba?(n?1)b?a?(n?1)ba?(n?1)bbab?bbDba?bbn?b??????bbb?abbbb?ba111?11111?11bab?bb0a?b0?00?[a?(n?1)b]bba?bb00a?b?00???????[a?(n?1)b]??????bbb?ab000?a?b0bbb?ba000?0a?b?[a?(n?1)b](a?b)n?1
1?a11?19.计算行列式D11?a2?n?1????，其中a1a2?an?0
11?1?an【分析】 方法一：利用行列式性质，将原行列式化为上三角行列式。
1?a11?1n1?a11?a1Da1a?1?1i?1a2?0n???????0ia?0n2?a1a2?an(1??a?????1)
i?1ai10?an00?an 方法二：利用加边的方法
2
1111111101?a111?1a100Dn?1?011?a21??10a2001111?an?1000ann1??1111
i?1ain?0a10000a0?a1a2an(1??12i?1a)i0000an111110.计算行列式D?abcda2b2c2d2的值。 a4b4c4d411111abcdx【分析】 利用范作范德蒙行列式D21?ab2c2d2x2，则行a3b3c3d3x3a4b4c4d4x4列式D就是行列式D31元素x的余子式M45，即D?M45
又D1?(x?a)(x?b)(x?c)(x?d)(d?a)(d?b)(d?c)(c?a)(c?b)(b?a)
此式x3的系数是
?(a?b?c?d)(d?a)(d?b)(d?c)(c?a)(c?b)(b?a)也为D1中
元素x3的代数余子式A45，因为M45??A45
所以，
1111D?abcda2b2c2d2?(a?b?c?d)(d?a)(d?b)(d?c)(c?a)(c?b)(b?a)。
a4b4c4d4 3