答：选取这5人不在同组的概率为
（17）（共14分）
（Ⅰ）证明： 连结BC1，AC1． 在?ABC1中，
15． ---------------- 13分 323?M,N是AB,A1C的中点， ?MN||BC1．
又?MN?平面BCC1B1，
?MN||平面BCC1B1． --------------------4分
（Ⅱ）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系B1?xyz．
则B1(0,0,0)，C(0,2,2)，A1(?2,0,0)，M(?1,0,2)，N(?1,1,1)
??????????BC?(0,2,2)，A1B1?(2,0,0)，NM?(0,?1,1)． 1设平面A1B1C的法向量为n?(x,y,z)．
??????n?B1C?0?x?0 ????????y??z??n?A1B1?0??????令z?1，则x?0,y??1，?n?(0,?1,1)．?n=NM．
?MN?平面A1B1C． --------------9分
（Ⅲ）设平面MB1C的法向量为m?(x0,y0,z0)
z M B A C ????? B1M?(?1,0,．2 )??????x0?2z0?m?B1C?0? ?????????m?B1M?0?y0??z0令z0?1，则x0?2,y0??1
N A1 ?m?(2,?1,1)． ?cos?n,m??n?m23． ??|n|?|m|32?6x
B1 C1 y 所求二面角M?B1C?A1的余弦值为（18）（共14分）
3． --------------------14分 3解：（Ⅰ）f'(x)?3x?12ax?9a?3(x?a)(x?3a)?0
22 （1）当a?3a，即a?0时，f'(x)?3x2?0，不成立．
（2）当a?3a，即a?0时，单调减区间为(3a,a)．
（3）当a?3a，即a?0时，单调减区间为(a,3a)．-------------------5分 （Ⅱ）f'(x)?3x2?12ax?9a2?3(x?a)(x?3a)，
f(x)在(0,a)上递增，在(a,3a)上递减，在(3a,??)上递增．
（1）当a?3时，函数f(x)在[0,3]上递增， 所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(3)，
?f(3)?4, 若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，需要有?解得a??．
a?3,? （2）当1?a?3时，有a?3?3a，此时函数f(x)在[0,a]上递增，在[a,3]上递
减，所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(a)，
若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，需要有??f(a)?4, 解得a?1．
1?a?3,?（3）当a?1时，有3?3a，此时函数f(x)在[a,3a]上递减，在[3a,3]上递增， 所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(a)或者是f(3)．
由f(a)?f(3)?(a?3)2(4a?3)， ①0?a?3时，f(a)?f(3)， 4?f(3)?4,?若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，需要有?3
0?a?,??4解得a?[1?②
233,]． 943?a?1时，f(a)?f(3)， 4?f(a)?4,3?若对?x??0,3?有f(x)?4恒成立，需要有?3 解得a?(,1)．
4?a?1,??4 综上所述，a?[1?（19）（共14分）
解：（Ⅰ）设直线l的方程为y?k?x?1?(k?0)．
23,1]． -------------14分 9由???y?k?x?1?,??y?4x,22222 可得 kx?2k?4x?k?0．
??2k2?4,x1x2?1． 设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则x1?x2?k2?y1y2??4
?N??1,0?
kNA?kNB?y1y4y4y?2?21?22 x1?1x2?1y1?4y2?4224?yy?4?yy?4?1221???4(?4y2?4y1?4y1?4y2)?0． ?22y12?4y2?4y12?4y2?4????????????又当l垂直于x轴时，点A,B关于x轴，显然kNA?kNB?0,kNA??kNB． 综上，kNA?kNB?0,kNA??kNB． ---------------- 5分 （Ⅱ）S?NAB?y1?y2? =41??y1?y2?2?4y1y2?4?x1?x2??8 1?4． 2k当l垂直于x轴时，S?NAB?4．
∴?ANB面积的最小值等于4． ----------------10分 （Ⅲ）推测：①kNA??kNB；
②?ANB面积的最小值为4mm． ---------------- 14分
（20）（共13分） 解：（Ⅰ）当n?2时，
11111， ????Snanan?1Sn?Sn?1Sn+1?Sn 化简得Sn2?Sn?1Sn?1(n?2)，
又由S1?1?0,S2?a?0，可推知对一切正整数n均有Sn?0， ∴数列?Sn?是等比数列． ---------------- 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列?Sn?的首项为1，公比为a， ∴Sn?an?1．
当n?2时，an?Sn?Sn?1?(a?1)a又a1?S1?1，
n?2，
(n?1),?1,∴an?? ----------8分 n?2?(a?1)a,(n?2). （Ⅲ）当a?4,n?2时，an?3?4n?2，此时
9an9?3?4n?2 bn? ?(an?3)(an?1?3)(3?4n?2?3)(3?4n?1?3)3?4n?211 ?n?2， ??(4?1)(4n?1?1)4n?2?14n?1?1 又b1?9a13?，
(a1?3)(a2?3)8?3,(n?1)??8 ∴bn??
11??,(n?2)??4n?2?14n?1?1 T1?b1?3， 8 当n?2时，
31111Tn?b1?b2???bn??(2?2?2?1)???(n?2?n?1)
84?14?14?14?1 ?71?n?1． 84?153?73?7 ?为??，??不是整数，不符合题意．
25an?188581?753?77????5?， ?为?n?1n?1n?184?15?484?15an?18若n?1，则等式Tn?若n?2，则等式Tn???是整数，∴4n?1?1是5的因数．
∴当且仅当n?2时，
54n?1?1是整数， ∴??4
综上所述，当且仅当??4时，存在正整数n?2，使等式Tn?3?7?成立． 5an?18