课题：三角函数的周期性
教学目标: 1．使学生理解函数周期性的概念。
2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法． 3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力。
教学重点：函数周期性的概念．
教学难点：周期函数与最小正周期的意义。 课时安排：一课时 授课类型：新授课 教学过程与设计： 一、 问题情境：
1、 引入：通过前面三角函数线的学习，我们知道每当角增加或减少2k?时，所
得角的终边与原来角的终边相同，因而两角的正弦函数值也相同，正弦函数的这种性质叫周期性．不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，这就是今天研究的课题：函数的周期性．
2、 问题：那么如何用数学语言来刻画函数的周期性呢？ 二、
建构数学 （一）、周期函数定义
1、我们先看函数周期性的定义．
定义 对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．
2、需要注意的几点： ①T是非零常数。
②任意x?D，都有x?T?D，T?0，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件。
③任取x?D，就是取遍D中的每一个x，可见周期性是函数在定义域上的整体性质。 理解定义时，要抓住每一个x都满足f(x?T)?f(x),成立才行
周期也可推进，若T是y?f(x)的周期，那么2T也是y?f(x)的周期.这是因为 若T是y?f(x)的周期，k?Z且k?0,f(2T?x)?f[T?(T?x)]?f(t?x)?f(x)，
则kT也是f(x)的周期.即2?是函数y?sinx和y?cosx的周期，那么
2k?(k?Z且k?0)也是y?sinx和y?cosx的周期.
如：sin(?4???3??3?)?sin(),sin(?)?sin(),? 24424但sin(?6??2)?sin?,?不是y?sinx的周期.
62?（二）、最小正周期的概念.
对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.
例如函数y?sinx的周期中，2π，－2π，4π，－4π，…，存在最小正数2π，那么，2π就是y?sinx的最小正周期.
函数y?cosx的最小正周期也是2π，今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期，不是每个周期函数都有最小正周期.
例1．求下列函数的最小正周期T. （1）f(x)?3sinx （2）f(x)?sin2x （3）f(x)?2sin(1?x?) 24解：（1）f(x)?3sinx?3sin(x?2?)?f(x?2?)T?2?
（2）f(x)?sin2x?sin(2x?2?)?sin2(x??)?f(x??)
∴ 函数的最小正周期为π.
（3）f(x)?2sin(1x??)?2sin(1x???2?)?2sin[1(x?4?)??]?f(x?4?) 242424 ∴ 函数的最小正周期为4π.
总结一般规律：y?Asin(?x??),y?Acos(?x??)的最小正周期是
2?|?|.
令 z??x??，由y?Asinz,z?R的周期是2?， 则 z?2????x????2????x?因而自变量x只要并且至少要增加到x???2????? ??2?2??，即T??。
例2．求证：（1）y?cos2x?sin2x的周期为π； （2）y?|sinx|?|cosx|的周期为?2.
证明：（1）f(x??)?cos2(x??)?sin2(x??)?cos(2??2x)?sin(2??2x) ?cos2x?sin2x?f(x)?y?cos2x?sin2x的周期是?
（2）f(x??)?|sin(x??)|?|cos(x??)?|cosx|?|?sinx|?|sinx|?|cosx|?f(x)
222 ∴y?|sinx|?|cosx|的周期是总结：（1）一般函数周期的定义
?2.
（2）y?Asin(?x??),y?Acos(?x??)周期求法
课堂教学设计说明
函数周期性概念的教学是本节课的重点．概念教学是中学数学教学的一项重要内容，不能因其易而轻视．也不能因其难而回避．概念教学应面向全体学生，但由于函数的周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入
布置作业：练习 2，习题1.3 1