2．1已知半径为a的导体球面上分布着面电荷密度为?s??s0cos?的电荷，式中的?s0为常数。试求球面上的总电荷量。
zdsro?ryx
解：球面上的总电荷量等于面电荷密度沿r=a的球面上的积分。在球面上选择一个小的球环，面积为dsr，对应的弧长为dl?ad?，因此，
dsr?2?asin?dl?2?asin?ad?。
q???sds???s0cos?ds???s0cos?2?a2sin?d??0
ss0?2.14题，在下列条件下，对给定点求divE的值：
（1）E?[ex(2xyz?y2)?ey(x2z?2xy)?ezx2y]V/m，求点P1(2,3,?1)处divE的值。
（2）E?[e?2?z2sin2??e??z2sin2??ez2?2zsin2?]V/m， 求点P2(??2,??110?,z??1)处divE的值。 解：
???(2xyz?y2)?(x2z?2xy)?(x2y)?2yz?2x（1） ?x?y?z ?2?3?(?1)?2?2??10divE?divE?1?1??[?(2?z2sin2?)]?(?z2sin2?)?(2?2zsin2?)???????z（2） ?4z2sin2??2z2cos2??2?2sin2? ?9.06
2.15题，半径为a的球中充满密度为ρ(r)的体电荷，已知电位移分布为：
?er(r3?Ar2), (0?r?a)? D=erDr=?a5?Aa4), (r?a)?er(?r2其中A为常数，试求电荷密度ρ(r)。
解：利用高斯定理的微分形式，即??D=?得????D=在r≤a区域中：????D=1?2322[r(r?Ar)]?5r?4Ar 2r?r1?2(rDr) r2?r1?2a5?Aa4)]?0 在r≥a区域中：????D=2[r(2r?rr2．20，在半径a＝1mm的非磁性材料圆柱形实心导体内，沿z轴方向通过电流I＝20A，试求：（1）??0.8mm处的B；（2）??1.2mm处的B；（3）圆柱内单位长度的总磁通。 解：
（1）圆柱形导体内的电流密度为
J?ezI20?eA/m2?ez6.37?106A/m2 z2?32?a?(1?10)利用安培环路定律得
2??B???0J??2
B0.8mm?e?1?0J??e?3.2?10?3T 2（2）利用安培环路定律得
B1.2mm?e??0I?e?3.33?10?3T 2??（3）圆柱内单位长度的总磁通为
???B?dS?? ?2?10?6Wba011?2a?0J?d???0J2220
2．22通过电流密度为J的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如图题2.22所示。试计算各部分的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。 解：
yPrbJraoboacax b因空腔中电流密度为零，可视为同时存在J和－J的电流密度，这样，可将原来的电流分布视为如下两个电流分布的叠加：一个电流密度为J，均匀分布在半径为b的圆柱内；另一个电流密度为－J，均匀分布在半径为a的圆柱内。空间的场，便是它们共同产生的。
由安培环路定律
??B?dl??I，可得到电流密度为J、均匀分
c0布在半径为b的圆柱内的电流产生的磁场为：
?1?0Jez?rb rb
??2rb半径为a、电流密度为－J的圆柱的磁场为：
?1??0Jez?ra raa
??2ra其中，ra、rb分别是点oa和ob到场点P的位置矢量。 将上面两式叠加，可得空间各区域的场：
1b2a2圆柱外： B??0Jez?(2rb?2ra)
2rr11a2圆柱内的空腔外：B??0Jez?(rb?2ra)
2rr1111c空腔内：B??0Jez?(rb?ra)??0Jez?
2rr2c可见，空腔内是均匀场。
2．24有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场
B?ez5cos?t mT之中，如图所示。滑片的位置由
x?0.35(1?cos?t) m确定，轨道终端接有电阻R?0.2 ?，
求电流i。
yaibR0.2m0.7m解：穿过导体回路abcda的磁通为
Bdx
c???B?dS??ezB?ezad?ab??5cos?t?0.2(0.7?x) ??cos?t[0.7?0.35(1?cos?t)]??0.35cos?t(1?cos?t)因此，感应电流为
1d?1i?????0.35?sin?t(1?cos?t)RRdtR
??1.75?sin?t(1?2cos?t) mA2．26求下列情况下的位移电流密度的大小 （1）某移动天线发射的电磁波的磁场强度
?inH?ex0.15cos(9.36?108t?3.12y)A/m
（2）一大功率变压器在空气中产生的磁感应强度
B?ey0.8cos(3.77?102t?1.26?10?6x)T
（3）一大功率变压器在填充的油中产生的电场强度
E?ex0.9cos(3.77?102t?2.81?10?6z)MV/m
设油的相对介电常数?r?5
J?ex0.1sin(377t?117.1z)MA/m2 （4）工频（f=50Hz）下的金属导体中，