| | | | | | ：| 名姓|
装
|
| | | ：号|
学订
| | | | ：| 级班|
线
|
| | ：| 号序| 卷试| | | |
防灾科技学院
2009~2010学年 第 一 学期期末考试
《高等数学（一）》试卷（A） 使用班级 09级本科 答题时间_120分钟
（本试卷理工、财经各专业通用，共三页24道题）
阅卷 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 教师 得分 一、 阅卷教师 选择题（本大题共 5小题，每题3分，共 15 分。）
得 分
1、设??cosx?cos2x??x2，则当x?0时，?与?是 B
A. ?~? B. ?与?是同阶无穷小，但不是等价无穷小 C. ?是比?高阶的无穷小 D. α是比β低阶的无穷小
2、过点M0(1,2)，试作曲线y?2?3x?1的切线，则该切线 B A. 不存在 B. 方程为x?1 C. 方程为y?2 D. 方程为y?2?32(x?1)
3、设I??a?xI= B
x2?a2dx，则 A. ln(x?x2?a2)?x2?a2?c B. aln(x?x2?a2)?x2?a2?c
C. ln(x?x2?a2)?12x2?a2?c D. aln(x?x2?a2)?122x?a2?c
4、设y?f(x)在[a,b]上有f/(x)?0,f//(x)?0，则其在该区间上为 A A. 单调增，凸 B. 单调减，凸 C.单调增，凹 D. 单调减，凹 5．下列反常积分中收敛的是 B
1
A、???xx11?x2dx B、???1edx C、
???11 D、xdx?1dx?1x(x?1)
二、 阅卷教师 分 填空题（本大题共 5小题，每题3分，共15 分。）
得 6、nlim(n?1?1)sin(n?1)???n 0 ；
7、设y?(ex?e?x)2，则y//
=4(e2x?e?2x)；
8、已知f(x)的一个原函数是xax，则?xf?(x)dx?axax?1(lnx?1)?xax?c；
9、微分方程dx?ex?ydy的通解是e?x?e?y?c；
10、用待定系数法求解二阶非齐次线性常微分方程y//?2y/?2y?excosx的特解时，所设特解的形式为y??xex(acosx?bsinx)。 三、
阅卷教师 得 分 求下列各极限（本大题共2 小题，每题5分，共10 分。）
2 11、 lim4?x?2x2x?01?cos2x?lim? x?02x2(4?x2?2) ?lim?1
x?02(4?x2?2) ??18 12、limex2 ?x2?1x?0??x
0t(sint?t)dt ?lim2xex2 ?2x2(ex2?1)?
x?0x(sinx?x)?limx?0?sinx?x x2 ?lim4xe
x?0?cosx?1 = 0
四、
e阅卷教师 得 分 xy(y?xy)?e/2xy(2y?xy)?y/////?0
求下列各导数（本大题共3小题，每题5 分，共15 分。）
或 y//(0)??2
13、设 y(x)?ln(x?x?a（)a是常数），求22
??。 y(x),y(x)五、/阅卷教师 计算下列不定积分（本大题共3小题，每题5分，共15分）
解：y/?1
x2 ?a2 y//??x
(x223 ?a)2t2214、设??x?sin确定了函数y?y(x),求dydyddx,dx2,ydx2t??
?y?2tcos2t?sin2t4dx?2sintcost?sin2t,解：dtdy
dt?2cos2t?4tsin2t?2cos2t??4tsin2t dydx??4t
d2
ydx2?ddt(dydx)dtdx?(?4)1?4sin2t?sin2t
2
dy?4dx2sin2t??4
t???4t??415、若函数y?y(x)由方程exy?x?y?1确定，求dyd2dx及ydx2
x?0解：令x?0,可得y?0
方程两端对x求导数有：exy(y?xy/)?1?y/?0
y/?1?yexy 解得/xexy?1 （y(0)?1）
方程两端对x求二阶导数，并将x?0时，y?0,y/(0)?1代入，则有：
2
得 分 16、?1x(1?x4)dx
3解：原式=?(1?xx1?x4)dx
?lnx?1ln1?x44?c
17、?1sin4xdx.
22解：原式=?sinx?cosxsin4xdx（或?csc4dx）
??(1?co2tx)csc2xdx ??cotx?133cotx?c
18、?arctanxdx
解：原式=xarctanx??x1?x2dx
?xarctanx?1ln(1?x22)?c
六、 阅卷教师 计算下列定积分（本大题共3小题，每题5分，共15分） 得 分 19、
?1x?1xedx??0xx?1?xedx??10xedx ??xex0?1??0xx1?x?1edx?xe0?10edx
??e?1?ex0?1?e?ex1?10?2(1?e)
?20、?23 0sinx?sinxdx
? ??2
0sinxcosxdx 3? ?2(sinx)2230?23
21、??e2xx?2x0sinxdx??e2cosx?0?2?0ecosxdx
?1?e2??2e2xsinx?0?4??2x0esinxdx
?1?e2??4??2x0esinxdx
移项可求得：??2xsinxdx?1?0e5(1?e2)
七、阅卷教师 （本大题共2小题，每题5分，共10分）
得 分 22、求微分方程yy//?(y/)2?0的通解。 解：设
dydx?p，则y//?dpdy?dydx?dpdyp
于是，方程化为ypdpdy?p2?0
或ydpdy?p
分离变量积分得：p?cdy1y，或dx?c1y
在分离变量积分得：y?cc1x2e
23、求微分方程2y//?y/?y?3ex满足初始条件y(0)?2,y/(0)?1的特解。 解：齐次微分方程的特征方程：2?2???1?0有根?1??1,?12?2
1 所以，齐次微分方程的通解可表示为：y?c1e?x?c2x2e
并可设非齐次微分方程的特解为：y*?aex 将y*
代入非齐次微分方程、约去指数因子得：a?32
1于是，非齐次微分方程的通解是：y?ce?x?cx?312e22ex
另由初始条件有：y(0)?c1?c2?3?2，y/2(0)??c131?2c2?2?1
解得：c2?0,c1?12
最后得满足初始条件的非齐次微分方程的特解是：
y~?12e?x?33ex 八、 阅卷教师 ）
得 分 （本大题共1小题，共5 分。24、求曲线y?x2,x?y2所围成的平面图形绕X轴旋转一周所生成的旋转体的体积。解： 曲线 y?x2,x?y2交与点O(0, 0)和点M(1, 1)如图所示。 它们所围得平面图形绕X轴旋转一周所生成的旋转体的体积为：
V???1[(x)2?(x2)2]dx???1(x?x4)dx
00 ??[122x?15x5]130?10? 3