猜数问题的研究
定义6：对于n+1元组(A1,A2,?,An,k)，记g?A1,A2,?,An,k,R???T,F?（表示真
或假），R?Z?,表示当三位学生头上的数分别为A1,A2,?,An，第k位学生是否在恰在第R次提问时最先猜出头上的数为ak。
定义7：对于n+1元组(A1,A2,?,An,k)，记h?A1,A2,?,An,k,R???T,F?（表示真或假），R?Z?,表示当三位学生头上的数分别为A1,A2,?,An，第k位学生是否能够在第R次提问时排除头上的数为ak的情况。 定义8：对于(A1,A2,?,An,k),记M??ai?i?1k?1i?k?1?aniW?max?A1,?,Ak?1,Ak?1,?,An?。，
定义9：对于(A1,A2,?,An,k)，用X指代第k位学生推测的任意一种分组情况。
定义G(X)为第k位学生假设分组X情况下两组学生头上数的和。
?定义10：对于(A1,A2,?,An,k)，当第k学生在考虑某一可能分组的情况下，记Ak为所推测出的头上数的可能值。
定义11：对于(A1,A2,?,An,k)，定义At1?At2???Atn?1，其中
?t1,t2,?,tn?1??{1,2,?n}\\?k?。
定义12：对于(A1,A2,?,An,k)，定义分组T：选取第t1,t2,?,tm位学生为一组，
剩下的学生为另一组（第k位学生在这一组）。则G(T)??Ati
i?1m对于(A1,A2,?,An,k)，考虑分组T的情况，G(T)??Ati?i?1mi?m?1?Atn?1i? ，显?Ak???Ati?然Aki?1mi?m?1?Atn?1i?At1（第一个求和符号有m项，第二个求和符号有n-1-m
项，由于m?n/2?n?m?n?1?m，且At1?At2???Atn?1）。
对于(A1,A2,?,An,k)任意一个分组X，设?x1,x2,?,xn?1??{1,2,?n}\\?k? 1) 当与第k位学生不同组的学生有m人时，设G(X)??Axi（m项）。
i?1m显然有G(T)??Ati??Axi?G(X)
i?1i?1mmm???Axi?Aki?1mi?m?1?Axn?1i?2?Axi??Axi?i?1i?1mi?m?1?Axn?1i?2?Axi??Axi?2G(X)?M
i?1i?1mn?12) 当与第k位学生同组的学生有m人时，设G(X)??Axi（n-m项）。
i?1n?m第11页 共21页
猜数问题的研究
显然有G(T)??Ati??Ati??Axi?G(X)
i?1i?1i?1mn?mn?m???Axi?Aki?1n?mi?n?m?1?Axn?1i?2?Axi??Axi?i?1i?1n?mn?mi?n?m?1?Axn?1i?2?Axi??Axi?2G(X)?M
i?1i?1n?mn?1考虑(A1,A2,?,An,k)?S1的条件：
I. 当(A1,A2,?,An,k)?S2。
?，这种情况考虑在分组T的情况下，Ak?max?A1,A2,?,An??At1?Ak不同于实际情况，需要进行推理。得到结论：?(A1,A2,?,An,k)?S2，(A1,A2,?,An,k)?S1。 II. 当(A1,A2,?,An,k)?S3。
考虑实际分组B的情况
1) 当与第k位学生不同一组的学生有m人时，G(B)??Abi?i?1mn?1i?m?1?Abii?Ak。
???Ati?在分组T的情况下，有Aki?1mi?m?1?At??Ab??Abiii?1i?m?1n?mi?1n?1mn?1?Ak。
2) 当与第k位学生同一组的学生有m人时，G(B)??Abi?当m?n/2时，即为上面一种情况，因此只考虑m?n/2
???Ati?在分组T的情况下，有Aki?1mi?n?m?1?Abn?1i?Ak。
i?m?1?At??Abii?1n?1n?mi?i?n?m?1?Abn?1i?Ak。
?。因此实际分组B要使得(A1,A2,?,An,k)?S1，必然要满足Ak?Ak只可能是上面第一种情况，且满足?Abi?i?1mi?m?1?Ab??Atii?1mn?1mi?i?m?1?Atmn?1i，显
然?Ai??Abi?i?1i?1n?1mi?m?1?Ab??Atii?1n?1mi?i?m?1?Atn?1i，因此可得?Abi??Ati，
i?1i?1即G(B)?G(T)。
显然G(X)?G(T)?G(B)，在此条件下，若存在可能的分组C满足
??2G(C)?M?2G(B)?M?Ak。显然由于G(C)?G(B)，Ak??0，即2G(C)?M?0。 (A1,A2,?,An,k)?S1，必然有Ak若不存在可能的分组C满足G(C)?G(B)，即任意分组G(X)?G(B),则At1?At2???Atn?1。
第12页 共21页
猜数问题的研究
进一步分析对可能的分组C满足G(C)?G(B)，何时满足2G(C)?M?0。分两种情况考虑：
1) 当At2,At3,?,Atn?1不全相等时，必然有At2?Atn?1，考虑如下分组C：
第t1,t3,t4?,tm?1,tm,tn?1位学生为一组，第k,t2,tm?1,tm?2,?,tn?2位学生为一组，此时显然有G(C)?At1??Ati?Atn?1??Ati?G(B)。
i?3i?1mm需满足2G(C)?M?0，即G(C)?M?G(C)，因此
At1??Ati?Atn?1?G(C)?M?G(C)?At2?i?3mi?m?1?Atn?2i。另一方面，
At1?At2,At3?Atm?1,At4?Atm?2,?,Atn?m?Atn?2，而m?n?m，因
此At1??Ati?Atn?1?At1??Ati?At1??Ati?At2?i?3i?3i?3mmn?mi?m?1?Atn?2i，矛
盾。因此，?(A1,A2,?,An,k)满足At2?Atn?1,(A1,A2,?,An,k)?S1。 2) 当At2,At3,?,Atn?1全相等时，不妨设，At1?p，
?i??2,3,?,n?1?,Ati?q。
考虑分组C：m个头上数为q的学生为一组，剩下的学生为一组（第k位学生在这组中）。
由于2G(C)?M?0，即2mq?[p?(n?2)q]?0，因此(2m?n?2)q?p。
1. 当m?n/2时，再来考虑分组D：头上数是p的学生与n-m-1个
头上数是q的学生在一组, 剩下学生为一组。由于m?n/2，因此G(D)?G(B)。
由于2G(D)?M?0，因此2[p?(n?m?1)q]?a?(n?2)b，因此p?(2m?n)q，观察得到的两个不等式，显然矛盾，因此当
m?n/2时，?(A1,A2,?,An,k)满足At1?Atn-1,(A1,A2,?,An,k)?S1。2. 当m?n/2时，可以得到Ak??Ati?i?1mi?m?1?Atn?1i ?At1?p，且2q?p。
因此，(A1,A2,?,An,k)?S1的条件为：
1. (A1,A2,?,An,k)?S3 2. At1?At2???Atn?1或
m?n/2,p,q?Z?,2q?p,Ak?At1?p,?i??2,3,?,n?1?,Ati?q
第13页 共21页
猜数问题的研究
分情况进行讨论(A1,A2,?,An,k)?S1的情况： I. 对于(A1,A2,?,An,k)?S2
若?(A1,A2,?,An,k)?S2，g(A1,A2,?,An,k,f(A1,A2,?,An,k))?T，记V?min?f(A1,A2,?,An,k)(A1,A2,?,An,k)?S2,g(A1,A2,?,An,k,f(A1,A2,?,An,k))?T??(A1,A2,?,An,k)?S2。
g?A1,A2,?,An,k,V??T。
满足
f?A1,A2,?,An,k??V，
若第k位学生能够猜出自己头上的数，则他一定要通过推理排除头上数所有可能情况中与实际不相等的值。
A1,A2,?An?,因此由于(A1,A2,?,An,k)?S2，即Ak?ma?xma?Ax1,A2,?An??ma?Atx1,At2,?,Atn?1?。考虑分组T的情况,
?，因此需要排Ak?max?A1,A2,?,An??max?At1,At2,?,Atn?1??At1?Ak除这种情况。令Ai??Ai,i??t1,t2,?,tn?1?。
g?A1,A2,?,An,k,R??T
?,A2?,?,An?,k,R??T ?h?A1?,A2?,?,An?,t1,Rt1??g?A1?,A2?,?,An?,t2,Rt2??? ?g?A1?,A2?,?,An?,tn?1,Rtn?1??T ?g?A1注：上面Rt1,Rt2,?,Rtn?1?Z?为代定变量，显然有
Rt1,Rt2,?,Rtn?1?R，由于具体值与结论无关，因此不必讨论。 ??At1 1) 当Ak?,A2?,?,An?,t)?S2,t??t1,t2,?,tn?1?。?i??则可得(A11,2,?,n?1?，
?,A2?,?,An?,ti,Vti??T，f?A1?,A2?,?,An?,ti??Vti，而Vti?V，使得g?A1矛盾。
因此得到结论：对于?(A1,A2,?,An,k)?S2，若在分组T的情
??At1，则g?A1,A2,?,An,k,R??F,R?Z?。 况下满足Ak??At1 2) 当Ak???Ati?由于，因此等号成立的条件为Aki?1mi?m?1?Atn?1i?At1，由于
At1?At2???Atn?1，因此仅当m?n/2存在这种情况，此时At2?At3??Atn?1。
1. 若At1?At2
考虑实际分组B的情况，显然Ab1?Ab2??Abn?1，
Ak??Abi?i?1mi?m?1?Abn?1i?Ab1，此时(A1,A2,?,An,k)?S2。
2. 若At1?At2
?,A2?,?,An?,t1??S3显然?A1第14页 共21页
，对?i??2,3,?,n?，
猜数问题的研究
?,?,An?,ti??S2。 ?A1?,A2?,A2?,?,An?,ti,Vti??T若?i??2,?,n?1?，g?A1，
?,a2?,?,an?,ti??Vti，而Vti?V，矛盾。 f?a1?,A2?,?,An?,t1,Vt1??T。 因此g?A1,A2,?,An,k,V??T?g?A1设At1?p，?i??2,3,?,n?1?,Ati?q。
由于m?n/2，对第k位学生只有两种本质不同的分组情况，即第k位学生与第t1位学生在同一组或不在同一组，两种情况对应头上数的可能值分别是：
???Ati?Ak??Ati??Ati?2q?p及Aki?mi?1i?1n?1m?1mi?m?1?Atn?1i?p
?,A2?,?,An?,t1?，第t1位1,2,?,n?1?,A?ti?Ati，对?A1设?i??学生只有两种本质不同的分组情况，两种情况对应头上数的可能值分别是：
A?t1?p及A??t1?2q?p
设?i??1,2,?,n?\\?t1?， Ai???Ai? 。
?,A2?,?,An?,t1,R??T g?A1??,A2??,?,An??,t1,R??T ?h?A1??,A2??,?,An??,k??S3，对?i??2,3,?,n?，显然?A1??,?,An??,ti??S2。 ?A1??,A2??,A2??,?,An??,ti,V?ti??T，若?i??2,?,n?1?，g?A1??,A2??,?,An??,ti??V?ti，而V?ti?V，矛盾。 f?A1?,A2?,?,An?,t1,Vt1??T?g?A1??,A2??,?,An??,k,V?k??T 因此g?A1??,A2??,?,An??,k,Rk??g?A1??,A2??,?,An??,t2,Rt2??? ?g?A1??,A2??,?,An??,tn?1,Rtn?1??T ?g?A1考虑
??,?,An??,k??A1??,A2，
A??t1?2q?p，
?i??2,3,?,n?1?,A??ti?q，对第k位学生只有两种本质不同的
分组情况，两种情况对应头上数的可能值分别是：
???p及Ak????2q?p Ak1,2,?,n?\\?k?，且i?k，Ai????Ai?? 。 设?i????,A2??,?,An??,k,V?k??T g?A1??????,?,An???,t2,V??t2??g?A1??????,?,An???,t2,V??t3??? ?g?A1,A2,A2第15页 共21页