2013届高三一轮复习课时训练14:导数与函数的单调性、极值
1
1．函数y＝4x＋的单调增区间为( )
x
2
1
，＋∞ 2
1
C．(－∞，－1) D.－∞，－
2
1111
解析：选B.由y＝4x2＋得y′＝8x－2，令y′＞0，即8x－2＞0，解得x＞，
xxx2
11
∴函数y＝4x2＋在，＋∞上递增．
x2
2．已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调减区间是( )
44A.－，0 B.－∞，－
33
4
C．(0，＋∞) D.－∞，－，(0，＋∞)
3
2
解析：选A.f′(x)＝3x－2mx，由f′(－1)＝－1得m＝－2，
4
∴f′(x)＝3x2＋4x.由f′(x)＜0得－＜x＜0.
3
3．(2012·武汉质检)已知函数f(x)的导数为f′(x)＝x2－x，则当x＝________时，函数f(x)取得极大值． 解析：当x＜0或x＞1时，f′(x)＞0；当0＜x＜1时，f′(x)＜0，所以当x＝0时，函数f(x)取得极大值． 答案：0
1
4．设函数f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常数a＞1，则f(x)的单调减区间为________．
32
解析：f′(x)＝x－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，由a＞1知，当x＜2时，f′(x)＞0，故f(x)在区间(－∞，2)上是增函数；当2＜x＜2a时，f′(x)＜0，故f(x)在区间(2,2a)上是减函数；当x＞2a时，f′(x)＞0，故f(x)在区间(2a，＋∞)上是增函数．
综上，当a＞1时，f(x)在区间(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数． 答案：(2,2a)
A．(0，＋∞)
B.
((
)
)
()
()
(())
一、选择题
b
1．函数f(x)＝ax＋(a，b∈(0，＋∞))的单调递减区间是( )
xb?bb
A.?－∞，－ B.－，0，0， ?a?aa
b?、?0， b? ?－b，0?∪?0， b? C.?－，0D.??????aa?aa?
b
解析：选C.由已知得f′(x)＝a－2，
x
bb令f′(x)＜0，解得－＜x＜0或0＜x＜ ，
aabb???故所求递减区间为??－a，0?、?0， a?.
2．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是( ) A．(a，b) B．(a，c) C．(b，c) D．(a＋b，c)
2b
解析：选A.f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知1、－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，∴1－1＝－，b＝0，
3a
故选A.
3．下面为函数y＝xsinx＋cosx的递增区间的是( )
π3πA．(，) B．(π，2π)
223π5πC．(，) D．(2π，3π)
22
3π5π
解析：选C.y′＝(xsinx＋cosx)′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈(，)时，恒有xcosx>0.故选C.
22
32
4．函数f(x)＝x＋3x＋3x－a的极值点的个数是( ) A．2 B．1
()()
C．0 D．由a确定
22
解析：选C.f′(x)＝3x＋6x＋3＝3(x＋1)≥0恒成立， ∴f(x)在R上单调递增，故f(x)无极值．
2
5．(2012·秦皇岛质检)如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x21＋x2等于( )
810A. B. 991628C. D. 99
32
解析：选C.由图象可得f(x)＝x(x＋1)(x－2)＝x－x－2x，又∵x1、x2是f′(x)＝3x2－2x－2＝0的两根，∴
222221622
x1＋x2＝，x1x2＝－，故x2＋2×＝. 1＋x2＝(x1＋x2)－2x1x2＝
33339
二、填空题
9
6．函数f(x)＝x＋的单调减区间为________．
x
9x2－9
解析：f′(x)＝1－2＝2，
xx
令f′(x)<0，解得－3 1 7．函数y＝2x－2的极大值是________． x2 解析：y′＝2＋3，令y′＝0得x＝－1，当x＜－1时，y′＞0；当x＞－1时，y′＜0. x ∴当x＝－1时，y取极大值－3. 答案：－3 8．已知x＝3是函数f(x)＝alnx＋x2－10x的一个极值点，则实数a＝________. aa 解析：f′(x)＝＋2x－10，由f′(3)＝＋6－10＝0得a＝12，经检验满足． x3 答案：12 三、解答题 9．求函数f(x)＝2x3－6x2＋7的单调区间和极值． 解：f′(x)＝6x2－12x，令f′(x)＞0，即6x2－12x＞0，解得x＜0或x＞2. 同理，由f′(x)＜0，解得0＜x＜2. ∴函数的单调增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调减区间为(0,2)． ∴当x＝0时，f(x)取极大值f(0)＝7， 当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝－1. 1 10．已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值. 2 (1)求a，b的值； (2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间． 解：(1)因为函数f(x)＝ax2＋blnx， b 所以f′(x)＝2ax＋. x 1 又函数f(x)在x＝1处有极值， 2 ?f′?1?＝0，?2a＋b＝0， () 所以? ?f?1?＝ 1 可得a＝，b＝－1. 2 1 (2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)， 2 1?x＋1??x－1? 且f′(x)＝x－＝. xx 12 ，即?1 ?a＝2. 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ?↘ 极小值 ?↗ 所以函数y＝f(x)的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)． 11．已知函数f(x)＝x2＋bsinx－2(b∈R)，F(x)＝f(x)＋2，且对于任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0. (1)求函数f(x)的解析式； (2)已知函数g(x)＝f(x)＋2(x＋1)＋alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围． 解：(1)F(x)＝f(x)＋2＝x2＋bsinx－2＋2＝x2＋bsinx， 依题意，对任意实数x，恒有F(x)－F(－x)＝0. 即x2＋bsinx－(－x)2－bsin(－x)＝0， 即2bsinx＝0，所以b＝0， 所以f(x)＝x2－2. (2)∵g(x)＝x2－2＋2(x＋1)＋alnx， ∴g(x)＝x2＋2x＋alnx， a g′(x)＝2x＋2＋. x ∵函数g(x)在(0,1)上单调递减， ∴在区间(0,1)内， a2x2＋2x＋a g′(x)＝2x＋2＋＝≤0恒成立， xx ∴a≤－(2x2＋2x)在(0,1)上恒成立 . ∵－(2x2＋2x)在(0,1)上单调递减， ∴a≤－4为所求．