2012-2013学年度上学期期末考试
高三年级数学试题（理）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．设全集U?{x?N|x?6}，集合A?{1,3},B?{3,5},则(CUA)?(CUB)? （ ）
A．{2,4}
B．{2,4，6}
C．{0，2,4}
D．{0，2,4，6}
2．若复数(a2?1)?(a?1)i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数a? （ ） A．±1 B．?1 C．0 D．1
3．已知{an}为等比数列，若a4?a6?10，则a1a7?2a3a7?a3a9?（ ）
A．10
B．20 C．60 D．100
2开始 4．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC?16,
|AB?AC|?|AB?AC|,则|AM|?（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．右图的算法中，若输入A=192，B=22，输出的是（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 6．给出命题p：直线l1：ax?3y?1?0
输入非零正整数A,B N B≠0 Y C=A除以B的余数 结束 输出A 与l2：2x?(a?1)y?1?0互相平行的充要条件是a??3；
命题q：若平面?内不共线的三点到平面?的距离相等，则?∥?。
对以上两个命题，下列结论中正确的是 （ ）
A．命题“p且q”为真 B．命题“p或q”为假 C．命题“p且┓q”为假 D．命题“p且┓q”为真
A=B,B=C ?x?1?7．若关于x,y的不等式组?x?y?2表示的区域为三角形，则实数a的取值范围是
?y?ax? （ ）
A．（-∞，1） B．（0,1） C．（-1,1） D．（1，+∞）
8．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放
入标有相同标号的盒子中，则不同的方法有 （ ） A．36种 B．45种 C．54种 D．84种 9．设偶函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,0????)的 部分图像如图所示，△KLM为等腰直角三角形， ∠KLM=90°，|KL|=1，则f()的值为 （ ）
A．?y16KOLx1133 B．? C．? D．
4244M0)、B(1，0),动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交10．已知点M(?3,0)、N(3，于点P，则P点的轨迹方程为
2（ ）
y2y22?1(x?1) B．x??1(x?0) A．x?810y2y222?1(x?0) D． x??1(x?1) C．x?8103211．函数f(x)?x?bx?1有且只有两个不同的零点，则b的值为 （ ）
4A．
233B．
2 2C．
332 2D．不确定
12．已知三边长分别为4、5、6的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC
的三个顶点的距离相等，则三棱锥P-ABC的体积为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．30
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
a6)的展开式中x2的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a? 。 x14．已知函数f(x)?kx?1，其中实数k随机选自区间[-2,1]，则对?x?[?1,1]，都有f(x)?0恒成立的
13．设二项式(x?概率是 。
15．若某几何体的三视图（单位：㎝）如图所示， 则此几何体的体积等于 ㎝3。 16．定义函数f(x)?[x·[x]]，其中[x]表示不超过x的 最大整数，当x??0,n?(n?N)时，设函数f(x)的值域
*34正视图242俯视图侧视图为集合A，记A中的元素个数为an， 则
an?49的最小值为 。 n三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分） 已知角?的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(?3,3) . （Ⅰ）求sin2??tan?的值；
（Ⅱ）若函数f(x)?cos(x??)cos??sin(x??)sin?， 求函数y?3f(?2?2x)?2f2(x)在区间
[0,]上的值域。
218．（本小题满分12分）
如图，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于 直线AC，EC⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=3。 （I）求证：AC⊥BF
（II）求二面角F-BD-A的大小
19．（本小题满分12分）
第12届全运会将于2013年8月31日在辽宁沈阳举行，组委会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：
男 女 ㎝），若身高在175㎝以上（包括175㎝）定义为“高个子”，身
高在175㎝以下（不包括175㎝）定义为“非高个子”，且只有9 15 7 7 8 9 9 “女高个子”才担任“礼仪小姐”． 9 8 16 1 2 4 5 8 9 （Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”7 4 2 1 18 0 1 的概率？ 1 19 （II）若从所有“高个子”中选出3名志愿者，用ξ表示所
选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望． 20．（本小题满分12分）
在直角坐标系xoy上取两个定点A1(?2,0),A2(2,0)，再取两个动点N1(0,m)、N2(0,n)且mn=3． （Ⅰ）求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；
（II）已知F2(1,0)，设直线l：y?kx?m与（I）中的轨迹M交于P、Q两点，直线F2P、F2Q的倾斜角分别为?、?，且?????，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标 21．（本小题满分12分）
函数f(x)?1?alnx(a?0)．
?
（Ⅰ）当x>0时，求证：f(x)?1?a(1?)；
（II）在区间（1，e）上f(x)?x恒成立，求实数a的范围； （Ⅲ）当a?
1x1*时，求证： f(2)?f(3)???f(n?1)?2(n?1?n?1)（n?N） 2
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22．略 23．（本小题满分10分）选修4－4坐标系与参数方程
以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）试分别将曲线Cl的极坐标方程??sin??cos?和曲线C2的参数方程??x?sint?cost（t为参
?y?sint?cost数）化为直角坐标方程和普通方程：
（II）若红蚂蚁和黑蚂蚁分别在曲线Cl和曲线C2上爬行，求红蚂蚁和黑蚂蚁之间的最大距离（视蚂蚁为点）． 24．略
2012—2013学年度上学期期末考试网 高三年级理科数学答案 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.
1.C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D 7.C 8.D 9.D 10.A 11.C 12.B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. ?3 14.
221219? 16. 15.
323三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.解：（Ⅰ）因为角?终边经过点P(?3,3)，
133，cos???，tan??? ???3分 232333 ?sin2??tan??2sin?cos??tan??? ???6分 ???236 (Ⅱ) f(x)?cos(x??)cos??sin(x??)sin??cosx ，x?R
所以sin???y?3cos(?2x)?2cos2x?3sin2x?1?cos2x?2sin(2x?)?1 ???9分
261??5?1?? ?0?x??,???2x?? ???sin(2x?)?1，??2?2sin(2x?)?1?1
2666266?12故函数y?3f(?2x)?2f(x)在区间[0,?]上的值域为[?2,1]. ???12分
2222218.解：（Ⅰ）∵CD=AB?1,AD?2，?ADC?600,∴AC?=3，满足CD?CA?AD AF∴CD?CA ???2分
又EC?平面ABCD，故以CD为x轴，CA为y轴，以CE为z轴建立空间直角坐标系，
其中C(0，0，0)，D(1，0，0)，A(0，3，0)，F(0，3，3)B(-1，3，0) ???4分
∴CA?0,3,0，BF?1,0,3，DF??1,3,3 ∴CA?BF?0 ∴AC?BF ??6分 （Ⅱ）平面ABD的一个法向量n?(0,0,1),设平面FBD的一个法向量m?(x,y,z)
且DB?(?2,3,0)，DF??1,3,3
??????????
由???m?DB?0 得????2x?3y?0 ???8分 ??m?DF?0???x?3y?3z?0?∴?3?x?2y，令z?1得m???3,?2,1?， ???10分 ??y??2z∴cos?m,n??24 故所求二面角F—BD—A的大小为arccos24 ???12分
19.（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是
530?16， 所以选中的“高个子”有12?16?2人，“非高个子”有18?16?3人． ???3分 用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A表示“没有一名“高个子”被选中”，
2则P(A)?1?C33C2 ?1??751010． 因此，至少有一人是“高个子”的概率是
710． ????6分 （Ⅱ）依题意，?的取值为0,1,2,3．
P(??0)?C3814C3?P(??1)?C124C828P(??2)?C214C8121255，
C3?1255，
C3?1255，P(??3)?C341C3?． 因此，?的分布列如下： 1255 ?10分
?E??0?14281255?1?55?2?55?3?155?1????12分．
20.解：（Ⅰ）依题意知直线A1N1的方程为：y?m2(x?2) ① 直线An2N2的方程为：y??2(x?2) ②
设Q(x,y)是直线A交点，①×②得y2??mn1N1与A2N24(x2?4) 由mn?3 整理得x2y24?3?1 ???4分 x2y2∵N1,N2不与原点重合 ∴点A1(?2,0),A2(2,0)不在轨迹M上∴轨迹M的方程为4?3?1? 0 p 1455