复数与方程
江苏省华罗庚中学 谭瑞军
复数既可作代数运算，又具有几何意义.复数沟通了代数、几何、三角、向量之间的联系。复数有3种表现形式，其代数表示为a?bi，三角形式为z?r(cos??isin?)，指数形式为z?rei?，这里
ei??cos??isin?。下面对复数及复数相关的方程问题作一介绍。
1．基本原理：
定理1 （1）z?z?1?z2?z1?z2； （2）z1z2?z1z2；?1??z1； ?z2?z2（3）z?z?z?R； （4）z??z ? z为纯虚数或z?0； （5）Rez?z?z2；Imz?z?z2. 其中Rez,Imz分别表示复数z的实部与虚部. 定理2 （1）z2?zz； （2）zz11z2?z1z2； （3）
z?z1?z2?0?； 2z2（4）z1?z2?z1?z2?z1?z2； （5）z?max?Rez,Imz?.
定理3 设复数z1与z2对应的点分别为Z1和Z2，则 （1）点Z1与Z2的距离为z1?z2；
（2）z1?z2与z1?z2分别是以OZ1与OZ2为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
（3）argz?argz1?argz2,argz1?argz2?2?,1z2???argz1?argz2?2?,argz
1?argz2?2?,argz1?argz1?argzargz1?argz2?0,z??2,?2??argzargz 21?2,argz1?argz2?0,定理4 （1）argz???0???2??表示以原点为端点与x轴正向的夹角为?的射线； （2）方程z?z0?r?r?0?表示以Z0为圆心，半径为r的圆，这里Z0是z所对应的点.
定理5 方程xn?1?0?n?2,n?N?的n个根分别为w2k?2k?k?cosn?isinn, k?0,1,2,?,n-1，
并有如下结论成立：
（1）1?w2n?1mm?n当n|m时,1?w1???w1?0； （2）1?wm1?w2???wn?1???0当n?|m时,
定理6 代数基本定理：
定理6.1 任何n(n>0)次多项式在复数域中至少有一个根。
定理6.2 任何n(n>0)次多项式在复数域中有n个根（重根按重数计算）。 定理6.3 N次多项式的根与系数的关系：
令：f(x)=xn+an?11x+…+an 是一个n(n>0)次多项式，那在复数域C中f(x)有n个根a,a,a,……，
a,因而在C[x]中f(x)完全分解成一次因式的乘积： f(x)=(x-α
1)(x-α
2)…(x-α
n).
展开这一等式右端的括号，合并同次项，然后比较所得出的系数与（1）式右端的系数，我们得到根与系数的关系： an=(-1)n α
1α
2…α
n,
定理6.4 若实系数多项式f(x)有一个非实的复数根?,那么?的共轭数?也是f(x)的根，并且?与
?有同一重数。换句话说，实系数多项式的非实的复数根两两成对。
定理6.5 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只有含非实共轭复数根的二次多项式。
定理6.6 每一个实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因式的乘积。 2．方法解读：
解复数试题，应注意如下几个问题：（1）注意运用曲线的复数方程；（2）注意运用复数的几何意义；（3）注意运用复数运算的性质；（4）注意运用单位根及其运算性质；（5）注意运用方程的根与系数的关系；（6）注意函数思想，数形结合思想，方程思想以及三角方法、向量方法的合理使用，下面对这些方法举例说明.
例1、填空题：
（1）设z?11?bi?b?R?，则复数所对应曲线是
（2）若关于x的方程x2?5x?m?0的两个根z1,z2满足：z1?z2?3，则实数m＝ （3）已知复数z满足z?1，且z5?z?1，则复数z＝ （4）已知z?cos??isin??0???2??，??1?i?z3，则arg?的取值范围是 （5）已知复数z1,z2满足z1?3，z2?5，z1?zz12?7，则
z＝ 2
（6）设复数z?3cos??2isin?，则函数y???argz???0?????2??的最大值为
（7）使复数
?6?2i?n是纯虚数的最小自然数n?
（8）设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点所对应的复数依次为z1,z2,?z20，则复数
z19951,z19952,?z199520所对应的不同点的个数为
（9）已知复数z满足：2z?1z?1，设z的辐角主值为?，则cos?的取值范围是 （10）若z?C,arg?z2?4??56?,arg?z2?4???3，则z的值是 （11）设复数z1,z2满足z1?z1?z2?3,z1?z2?33，则log3?z1z2?2000??z1z20002?? .
（12）设w?cos?3795?isin?5，则以w,w,w,w为根的方程是 .
例2、设z?1?cos??isin?,z212?a?ai?a?R?，若z1z2为纯虚数，问：在?0,2??内是否存在?，使?z21?z2?为实数？
例3、设复数z1,z2满足：z1z2?Az1?Az2?0 （其中A?C，且A?0），求证： （1）z2z1?A1?Az2?A?A；（2）?z1?Az?A。
2?Az2例4、设函数f(x)?2x?1?2?x?1,x?R,若当0????时,f(cos22??2msin?)?f(?2m?2)?0恒
成立,求实数m的取值范围。
例5、关于x的二次方程x2?z21x?z2?m?0中，z1,z2,m均是复数，且z1?4z2?16?20i，设这个方程的两个根?,?满足????27，求m的最大值和最小值。 例6、设z是1的7次方根(z?1)，求z?z2?z4的值。
例7、考虑复平面上的正方形，它的四个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程
图I—1—8—3
x4?px3?qx2?rx?s?0的四个根，求这种正方形面积的最小值。
例8、设A,B,C分别是z0?ai,z11?2?bi,z2?1?ci对应的不共线的三点（a,b,c都是实数）
，证明：
曲线z?z420cost?2z1cos2tsint?z42sint（t?R）与?ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，试求出此点。
例9、给定实数a,b,c，已知复数z1,z2,z3满足：z1?z2?z3?1，z1z?z2?z3?1 2z3z1求az1?bz2?cz3的值。
例10、定义数列?an?，a1,a2是方程z2?iz?1?0的两根，且当n?2时，有
?an?1a2n?1?an??i?aa?1?an?1?2an??0 ，求证：对一切正自然数n有
a2a2?a2n?n?1n?2?anan?1?an?1an?2?an?2an。
例11、设z1,z2,?zn为复数，满足z1?z2???zn?1， 求证：上述n个复数中必有若干个复数，它们的和的模不小于
16。 例12、设A1,A2,?,An是圆心在点O，半径为1的圆内接正n边形的顶点，点M是射线OA1上且在圆n外的一点，求证：
?1k?1MA?n。 kOM例13、 求证：对任意实数a843,a4,?,a85，方程a85x85?a84x???a3x3?3x2?2x?1?0 的根不全为实数。
例14、集合A=?zz18?1?和B=???48?1?都是1的复数根的集合，集合C=
?z?z?A,??B?也是一个1的复数根集合，集合C中有多少个不同的元素。
例15、求一个有理系数方程，使它的根等于a4?a6?a7?a9，其中a是方程x13?1?0的根。
例16、设方程xn?an?1n?1x???a1x?a0?0的系数都是实数，且适合条件：
0?a0?a1???an?1?1，已知?为此方程的复根，且已知??1，试证明：?n?1?1。
例17、设n为自然数，求证方程zn?1?zn?1?0有模为1的复根的充要条件是n?2可被6整除。