参考答案
一、选择题
1—5 DCCBA 6—10 DAACA 二、填空题
11．16 12．y=x 13．4 14．25 15．①②③ 三、解答题
16．解：（1）记“甲取到黑球”为事件A，“乙取到黑球为事件B”
1C33则P(A?2?
C55 ????3分
1C333P(B)?2? 故甲、乙取到黑球的概率均为
5C55????6分
（2）?的所有可能取值为0，1，2
112C3C23C32C213且P(??0)?2? ,P(??1)??,P(??2)??225C510C5C510∴?的分布列为
? P 0 1 2 1 103 53 10?E??0?1336?1??2?? 1051056（注意：错误算法的答案也是）
5 ????12分
17．解：（1）
可设
f(x)?asin2?x?bcos2?x
f(x)?Asin(2?x??)，
其中
A?a2?b2,sin??ba?b22,cos?aa?b22
由题意知：
f(x)的周期为?,A?2
由
2?2???知??1 ?f(x)?2sin(2x??)
?f(??12)?2?sin(6??)?1
从而?6????2?2k?,k?z
即???3?2k?(k?z)
?f(x)?2sin(2x??3)?sin2x?3cos2x
从而a?,b?3
（2）由
f(a)?23知2sin(2a??23)?3 即sin(2a??13)?3
?sin(5?6?4a)sin[3?2?(4a?2?3)]
??cos(4a?2?3)
??1?2sin2(2a??3)
??1?2?(13)2??79
18．解：（1）证明：?PB?平面DEF
?PB?DE 又?PD?平面ABCD 又?BC?DC
?BC?面PDC
????2分
?DE?平面PDC ?BC?DE
从而DE⊥平面PBC
????4分 ?DE?PC
（2）连AC交BD于O，连EO
由PA//平面EDB
及平面EDB∩平面PAC于EO 知PA//EO
?O是正方形ABCD的对角线AC的中点 ?E为PC的中点 又?DE?PC ?PD?DC
????3分
????6分
????7分
????9分 ????11分 ????12分
????1分
????5分
????6分
设PD=DC=a，取DC的中点H，作HG//CO交BD于G， 则HG⊥DB，EH//PD
?EH?平面CDB。
由三垂线定理知EG⊥BD
故?EGH为二面角E—BD—C的一个平面角。 易求得EH?12PD?12a,HG?12OC?22a ?tan?EGH?EHGH?22 ∴二面角E—BD—C的正切值为
22.
19．解：（1）设M（0，m），N（0，n），P（x，y）
则??y?m(x?1)y??n(x?1)
?两式相乘得：
y2??nm(x2?1)
连MB、NB，则MB⊥NB，在Rt?MNB中 知|OB|2?|OM||ON|
?mn??2?y2?2(x2?1)x2?y2即
2?1故P的轨迹方程为x2?y22?1 （2）当直线GH与x轴垂直时，设G(x0,y0),则H(x0,?y0)从而x20?y20?0
又?x2y200?2?1?x20?2?|x0|?2 ?O到直线GH的距离为2.
当直线与x轴不垂直时，设其方程为
y?kx?m
y2代入x2?2?1并整理得： ????9分
????12分????6分
????8分
(2?k2)x2?2mkx?m2?2?0
2mkm2?2,x1x2?2设G(x1,y1),H(x2,y2)则x1?x2?
2?k2k?2?（*）??9分
?x2x2?y1y2?0?(1?k2)x1x2?km(x1?x2)?m2?0
将（*）代入并整理和m2?2(1?k2) |m|1?k2?O到GH的距离d??2
故O到GH的距离为20．解：（1）?g(x)2
????12分
?sin(cosx)?ax
?g'(x)?cos(cosx)?(?sinx)?a
依题意cos(cos即ax)(?sinx)?a?0对x?[0,]恒成立
2???cos(cosx)sinx
?0
????6分
显然?cos(cosx)sinx?a?0，故a的取值范围是a?0
（2）由（1）知：当a=1时，g(x)且g(0)?f(cosx)?x在[0,]上是减函数
2??sin1?0,g()???0
22??∴存在唯一c?(0,同理由F(x)且F(0)知存在d?2)使g(c)?0即f(cosc)?C
????8分
?cosf(x)?x在[0,]上是减函数
2??1?0,F()?cos1??0
22?(0,)使F(d)?0 2???即cosf(d)由cosf(d)及
?d成立
????10分
?d得f[cos(f(d))]?f(d)
f(cosc)?c的唯一性知c?f(d),即c?sind
综上可知，存在c，d使
f(cosc)?c和cos[f(d)]?d同时成立，
且c?sind
????13分
21．解：（1）m?1?888a1?1?(2?a2) 777882?()a277
8828?1?2??()[3?a3]777?1?2?888?3?()2???k?()k?1 ① ????2分 77788888?m?1??2?()2?3?()3???k?()k② 7777718828k?18?k?()k????4分 由①—②得?m?1?1??()???()777778()k?118??m?7?k?()k
877?17?1?2?8k?m?49?(k?7)?k?17 （2）由k ????6分
?1知|k?7|?7n?1
*又?m?N故此有k故k=7，m=49 （3）?m?7?0
????9分
?49?(k?7)?17k?1
1?7(m?49)?56(k?7)?(1?)k?17111112k?11?56(k?7)[1?Ck??C????C?]?56(k?7)[1?C?] ?1k?1k?1k?12k?17777?8(k?7)(k?6)?8(k2?k?42)?7(m?49)?8(k2?k?42)
????14分