导数的综合应用
【考纲要求】
1.了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数；
2.理解可导函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；
3.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求给定函数的极大值、极小值，会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值；
4．提高应用知识解决实际问题的能力。
【知识网络】
【考点梳理】
导数的应用
切线斜率、方程
函数的单调性问题
极值与最值问题
【高清课堂：导数的应用（理）394572 知识要点】
考点一、求切线方程的一般方法
（1）求出函数y?f(x)在x?x0处的导数f?(x0)；
（2）利用直线的点斜式得切线方程。 要点诠释：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.
考点二、判定函数的单调性
（1）函数的单调性与其导数的关系 设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当f'(x)?0时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当f'(x)?0时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有f'(x)?0时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。
要点诠释：①在区间(a,b)内，f'(x)?0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：
f(x)?x3?f'(x)?3x2?0，f'(0)?0,f'(x)?0(x?0)，而f(x)在R上递增。
②学生易误认为只要有点使f'(x)?0，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有f'(x)?0，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。
③要关注导函数图象与原函数图象间关系。 （2）利用导数判断函数单调性的基本步骤
①确定函数f(x)的定义域； ②求导数f'(x)；
③在定义域内解不等式f'(x)?0或f'(x)?0； ④确定f(x)的单调区间。
要点诠释：函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。
考点三、函数的极值
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（1）极值的概念
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
①如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)
要点诠释：
①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。
②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。
④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。
⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有f'(x)?0。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。
（2）求极值的步骤
①确定函数的定义域； ②求导数；
③求方程f'(x)?0的根； ④检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负
右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)
要点诠释：函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。f＇(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右f＇(x)的符号产生变化。
考点四、函数的最值
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。
（1）最值与极值的区别与联系：
①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；
③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。 （2）在区间[a，b]上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤 ①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数 ②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值
③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
要点诠释：①函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。
②在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当f'(x)?0在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。 【典型例题】
类型一：函数的切线问题
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例1.求曲线f(x)?x?x?2x?3的分别满足下列条件的切线： （1）在点的切线；（2）过点的切线； （11，）（11，）2【解析】f?(x)?3x?2x?2
32（1）x?1时，在点的切线的切线的斜率k?f?(1)?7， （11，）∴在点的切线为y?1?7(x?1)，即7x?y?6?0. （11，）（2）当切点为点时，切线为7x?y?6?0 （11，） 当切点不是点时，设切点为P(x0,y0)， （11，）?y0?x03?x02?2x0?3?x0??1?x0?1?则?或?（舍去） y0?1， 解得?2?k?f(x)?3x?2x?2?y??5y?1000?0?0?x?10?∴切点为P(?1,?5)的切线为y?1?3(x?5)，即3x?y?14?0， 故过点的切线为7x?y?6?0或3x?y?14?0. （11，）举一反三：
【变式1】已知曲线y?2x?1，曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一点的切线方
程。
【解析】∵y'?(2x?1)'?x?11?2， 令x2?1，得x=4, 2将x=4代入y?2x?1中得y=5
∴切点坐标是(4,5)， ∴切线方程为：y?5? 即：x-2y+6=0。
【变式2】设函数f(x)?x?3ax?3bx的图象与直线12x?y?1?0相切于点（1，－11）,求a，b的值.
【解析】f'(x)?3x?6ax?3b
∵f(x)的图象与直线12x?y?1?0相切于点（1，－11）.
2321(x?4). 2∴
?f(1)??111?3a?3b??11,，即
f'(1)??123?6a?3b??12.?解之得a=1，b=－3. 类型二：函数单调性问题
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例2．已知a∈R，求函数f(x)?xe的单调区间. 【解析】f'(x)?2xe?axe（1）当a=0时，
若x＜0，则f'(x)?0；若x＞0，则f'(x)?0. 所以，当a=0时，
函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. （2）当a＞0时，
由2x+ax＞0，解得x??所以，当a＞0时，
函数f(x)在区间(??,?)内为增函数， 在区间(?2
2axax2ax?(2x?ax2)eax.
222
或x＞0；由2x+ax＜0，解得??x?0. aa2a2,0)内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. a222
；由2x+ax＜0，解得x＜0或x??. aa（3）当a＜0时，
由2x+ax＞0，解得0?x??所以，当a＜0时，
函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数， 在区间(0,?)内为增函数，在区间(?举一反三： 【变式1】设f(x)?2
2a2,??)内为减函数. a13ax?x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间. 32【解析】f'(x)?ax?1
（1）当a?0时，则f'(x)?0恒成立，
此时f(x)在R上为单调函数，只有一个单调区间为(??,??)，不合题意； （2）当a?0时，
f'(x)?0???11?x??， aa11f'(x)?0?x???或x??
aa∴当a?0时，函数有三个单调区间，
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增区间为：(??11,?)； aa减区间为：(??，-?2
11)，(?,??). aa4
2
【变式2】已知f(x)=x+1, g(x)=x+2x+2且F(x)=g(x)-?f(x), 试问：是否存在实数?，使F(x)在(-?,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数.
【解析】假设存在实数?满足题设.
F(x)=g(x)-?f(x)=(x+2x+2)-?(x+1)=x-(?-2)x+(2-?), F?(x)=4x-2(?-2)x,
令4x-2(?-2)x=0, （1）若?≤2，则x=0.
当x∈(-∞,0)时，F?(x)<0；当x∈(0,+∞)时，F?(x)>0.
∴F(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，显然不符合题设. （2）若?>2，则x=0或x??3
3
4
2
2
4
2
??22，
当x?(??,???22)时，F?(x)<0；当x?(???22,0)时，F?(x)>0；
当x?(0,??22)时，F?(x)<0；当x?(??22,??)时，F?(x)>0.
∴F(x)的单调增区间是(???22,0)，(??22,??)，
单调减区间是(??,???22)，(0,??22).
要使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数， 则???22??1，即?=4.
故存在实数?=4，使F(x)在(-∞,-1)上是减函数，且在(-1,0)上是增函数. 类型三：函数的极值问题
例3. 已知函数f(x)?ax?bx?3x在x??1处取得极值，求函数f(x)以及f(x)的极大值和极小
值.
【解析】f'(x)?3ax?2bx?3,
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