（2）对0?c?2的任一c总存在一个具有性质（1）的数列{an}，使得由（2）导出的数列{bn}中有无限多个下标n满足bn?c．
(1?证：（1）
ak?11aaaa111111)?k?1(?)?k?1(?)(?)?(k?1?k?1)akakakakakak?1akakak?1akak?1ak11?).ak?1ak
?2(nnak?11112?bn??(1?)?2??(?)??2.
aakak?1aka0k?1k?1k1d?2(k?1)kk2k?d，)d?(1?d)d（2）令则当0?d?1时条件（1）满足．又和式bn中第k项是(1?, ?2kdakd?dn?1bn??(1?d)d?(1?d)?d?(1?d)?d(1?d)(1?dn),现在要求对无穷多个n，
1?dk?1k?1n2k2nk2d(1?d)(1?dn)?c，所以dn?1?2cc?d?1． （*）为此，只需选择d满足2d(1?d)2事实上，此时有d(1?d)?d?d?2d?c，故（*）右端为一正数．因为0?d?1时，d?0，所以存在一个确切的自然数N，使得当n?N时，（*）成立，故（b）得证． 4．设a1,a2,a3,?是正实数数列，对所有的n?1满足条件
n?ai?1ni?n,证明：对所有的n?1，
1112a?(1????) ?i42ni?1证：先证一个更一般的命题：设a1,a2,?,an和b1,b2,?,bn是正数，且b1?b2???bn（1） 若对所有的k?1,2,?,n，
n?b??a, （2） 则有?b??a2iiii?1i?1i?1i?1nnnnnnn2i, （3） 事实上，设bn?1?0，
由（1）（2）可得
?(bk?1nink?bk?1)?bi??(bk?bk?1)?ai,
i?1k?1i?1改变求和次序得
?b?(bi?1k?1nk?bk?1)??ai?(bk?bk?1),由此可得 ?bi??aibi
2i?1k?1nnnni?1i?1两边平方利用柯西不等式可得
2b?a?i?i,为证明本题不等式，令
2i?1i?1nn 6
bi?i?i?1?1i?i?11n(i?1,2,?,n)，则
1111?(1????). 242n(2i)?ai??2i?1i?1nn(i?i?1)2??i?1 7