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第3课时 充分必要条件的综合应用
基础达标(水平一 )
1.“a=2”是“直线y=-ax+2与直线y=x-1垂直”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】因为两条直线垂直,所以(-a)·=-1,解得a=±2,所以答案是充分不必要条件. 【答案】A
2.已知条件p:函数f(x)=x+mx+1在区间
2
上单调递增,条件q:m≥-,则p是q的
( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】因为函数f(x)=x+mx+1在区间
2
上单调递增,所以-≤?m≥-1,所以p是q的充分不必要条件,故选A. 【答案】A
3.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】依题意有p?r,r?/ p,r?s,s?q,∴p?r?s?q.
但由于r推不出p,因此q推不出p.故p是q的充分不必要条件. 【答案】A
4.已知命题p:cos(α+γ)=cos 2β,命题q:α,β,γ成等差数列,则p是q的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由α,β,γ成等差数列得α+γ=2β,所以cos(α+γ)=cos 2β.而由cos(α+γ)=cos 2β不一定得出α+γ=2β,还可能是α+γ=2β+2π等,所以p是q的必要不充分条件.
【答案】B
5.函数f(x)=ax+3在[-1,2]上存在零点的充要条件是.
【解析】函数f(x)=ax+3在[-1,2]上存在零点等价于f(-1)f(2)≤0,即(-a+3)(2a+3)≤0,解得a≥3或a≤-.
【答案】a≥3或a≤-
6.已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个条
件:①m∥n,n∥α;②m⊥n,n⊥α;③m?α,m∥β,α∥β;④m⊥β,α⊥β.其中能使m∥α成立的充分条件是 .(填序号)
【解析】①m∥n,n∥α,不能推得m∥α,m可能在平面α内; ②m⊥n,n⊥α,不能推得m∥α,m可能在平面α内; ③m?α,m∥β,α∥β,能推得m∥α;
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④m⊥β,α⊥β,不能推得m∥α,m可能在平面α内. 【答案】③
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7.已知集合A为函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x)的定义域,集合B={x|1-a-2ax-x≥0},求证:“a≥2”是“A∩B=?”的充分不必要条件.
【解析】若函数f(x)=lg(1+x)-lg(1-x)有意义,
则
解得-1 故A={x|-1 2222 由1-a-2ax-x≥0,可得x+2ax+a-1≤0,即(x+a-1)(x+a+1)≤0,解得-1-a≤x≤1-a,故B={x|-1-a≤x≤1-a}. 当a≥2时,1-a≤-1,这时满足A∩B=?, 反之,若A∩B=?,可取-1-a=2,则a=-3<2. 因此“a≥2”是“A∩B=?”的充分不必要条件. 拓展提升(水平二) 8.已知命题p: <1,q:x2+(a-1)x-a>0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 ( ). A.(-2,-1] B.[-2,-1] C.[-3,-1] D.[-2,+∞) <1?<0?(x-2)(x-1)>0?x<1或x>2,记P={x|x<1或x>2}; x2+(a-1)x-a=(x+a)(x-1)>0,记Q={x|(x+a)·(x-1)>0}. 因为p是q的充分不必要条件,所以P是Q的真子集. 当a>-1时,Q={x|x<-a或x>1},此时P不可能是Q的真子集;当a=-1时,Q={x|x≠1},符合题意;当a<-1时,Q={x|x<1或x>-a},只需-a<2,即a>-2. 综上所述,a的取值范围是(-2,-1]. 【解析】 【答案】A 222 9.已知“-1 22222 【解析】设p:-1 ∵p是q的充分条件,∴p?q,∴-1 (2)“=-2”的 条件是“直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直”.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”) 【解析】(1)由α=能够推出tan α=,反之不然,所以是充分不必要条件. · (2)若直线ax+2y+3=0和直线x+by+2=0互相垂直,则a=b=0或或=-2,所以是必要不充分条件. 【答案】(1)充分不必要 (2)必要不充分 精品K12教育教学资料 =-1,即a=b=0 精品K12教育教学资料 11.已知数列{an}的前n项和Sn=p+q(p≠0且p≠1),求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1. 【解析】充分性:当q=-1时,a1=S1=p-1; n-1 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=p(p-1),且当n=1时也成立. n于是==p(p≠0且p≠1),即{an}为等比数列. 必要性:当n=1时,a1=S1=p+q; n-1 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=p(p-1). 因为p≠0且p≠1,所以当n≥2时,==p,可知等比数列{an}的公比为p. 故==p,即p-1=p+q,解得q=-1. 综上可知,q=-1是数列{an}为等比数列的充要条件. 精品K12教育教学资料