【课题】8．4 圆（一）
【教学目标】
知识目标：
（1）了解圆的定义；
（2）掌握圆的标准方程和一般方程． 能力目标：
培养学生解决问题的能力与计算能力．
【教学重点】
圆的标准方程和一般方程的理解与应用．
【教学难点】
对圆的标准方程和一般方程的正确认识．
【教学设计】
用“解析法”推导圆的标准方程的过程，学生比较容易掌握，可以引导学生自己完成．要
2强化对圆的标准方程?x?a???y?b??r的认识，其中半径为r，圆心坐标为
22O??a,b?．经常容易发生错误的地方是认为半径是r2，圆心坐标为O???a,?b?．教学中应
予以强调，反复强化．
例1和例2是圆的标准方程的知识巩固性题目，属于基础性题目．可以由学生自己完成．通过例题，进一步熟悉圆的标准方程．
再介绍圆的一般方程时，教材首先将圆的标准方程展开，分析系数特点，然后将方程配方成圆的标准方程．这一系列的过程，不但介绍圆的一般方程及其与标准方程的联系，还显示出用代数的方法研究几何问题的魅力．
例3是圆的方程巩固性题目．题中的两种解法，都是经常使用的方法．特别是解法1，通常采用配方法，将方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径．这类题目的训练，有助于学生数学运算能力的提高．
求圆的方程，基本有两种基本方法．一种是根据已知条件求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程，例4就是这种类型的基础性题目；另一种是，设出圆的方程，然后，利用待定系数法确定相应的常数，例5就是这种类型的基础性题目．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
第8章 直线和圆的方程（教案）
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学 过 程 *揭示课题 8．4 圆（一） *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 圆是平面内到定点的距离为定长的点的轨迹，定点叫做圆心，定长叫做半径．如图8－18所示，将圆规的两只脚张开一定的角度后，把其中一只脚放在固定点O，另一只脚紧贴点所在平面上，然后转动圆规一周（圆规的两只脚张开的角度不变），画出的图形就是圆． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 介绍 质疑 引导 分析 了解 思考 启发 学生思考 0 10 图8－18 【说明】 圆心和半径是圆的两个要素． *动脑思考 探索新知 【新知识】 下面我们在直角坐标系中研究圆的方程． 讲解 说明 思考 带领 学生 分析
第8章 直线和圆的方程（教案）
教 学 过 程 图8－19 设圆心的坐标为C(a,b)，半径为r，点M(x,y)为圆上的任意一点（如图8－19），则 MC?r， 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 引领 分析 理解 记忆 25 由公式（8.1），得 将上式两边平方，得 (x?a)2?(y?b)2?r， (x?a)2?(y?b)2?r2 （8．8） 这个方程叫做以点C(a,b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程． 特别地，当圆心为坐标原点O(0,0)时，半径为r的圆的标准方程为 x2?y2?r2 （8．9） *巩固知识 典型例题 例1 求以点C(?2,0)为圆心，r?3为半径的圆的标准方程． 解 因为a??2,b?0,r?3, 故所求圆的标准方程为 说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解 思考 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 通过例题进一步领会 30 (x?2)2?y2?9． 例2 写出圆(x?2)?(y?1)?5的圆心的坐标及半径． 解 方程 (x?2)?(y?1)?5 可化为 (x?2)??y?(?1)??(5)， 2222222所以 a?2,b??1, r?5， 故，圆心的坐标为C(2,?1)，半径为r?5． 【说明】 使用公式（8.8）求圆心的坐标时，要注意公式中两个括号内都是“－”号． *运用知识 强化练习 1．根据下面条件，求出圆的标准方程，并画出图形． （1）圆心C(?1,2)，半径r?2； 提问 （2）圆心C(0,?3)，半径r?3． 2．根据下列圆的标准方程，分别求出圆心的坐标与半径，巡视 并画出图形． 指导 第8章 直线和圆的方程（教案）
教 学 过 程 （1）(x?1)2?y2?4； （2）x2?(y?2)2?3． *创设情境 兴趣导入 【观察】 将圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2展开并整理，可得 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 得情 况 质疑 引导 分析 思考 启发 学生思考 35 40 45 x?y?(?2a)x?(?2b)y?(a?b?r)?0. 令D??2a22222，E??2b，F?a2?b2?r2，则x2?y2?Dx?Ey?F?0． （1） 这是一个二元二次方程．观察方程（1），可以发现它具有下列特点： ⑴ 含x项的系数与含y2项的系数都是1； ⑵ 方程不含xy项． 那么，具有这两个特点的二元二次方程一定是圆的方程2吗？ *动脑思考 探索新知 将方程（1）配方整理得 D??E?D?E?4F? ?x????y???, （2） 2??2?4?2222 讲解 说明 引领 分析 思考 理解 记忆 引导 式启 发学 生得 出结 果 当D?E?4F?0时，方程（2）为是圆的标准方程，其圆心在(?D?E?4FDE． ,?)，半径为222方程 2222x2?y2?Dx?Ey?F?0（其中 叫做圆的一般方程．其中D、E、F均为常数． 【想一想】 为什么必须有D2?E2?4F?0的条件？ D2?E2?4F?0） （8．10） 仔细 分析 讲解 关键 词语 例3 判断方程x2?y2?4x?6y?3?0是否为圆的方程， 如果是，求出圆心的坐标和半径． 解1 将原方程左边配方，有 说明 x2?4x?22?22?y2?6y?32?32?3?0， 强调 即 (x?2)2?(y?3)2?42. 3)，半径为4的一个圆． 所以方程表示圆心为(?2， D?4,E??6,F??3解2 与圆的一般方程相比较，知．故 引领 *巩固知识 典型例题 观察 思考 通过例题进一步领 第8章 直线和圆的方程（教案）
教 学 过 程 D2?E2?4F?16?36?4?(?3)?64?0， 所以方程为圆的一般方程，由 DED2?E2?4F?2,??3,?4 222知，圆心的坐标为(?2,3)，半径为4． 【说明】 给出方程求圆心和半径时，经常通过配方法将圆的一般方程化为圆的标准方程．解1是经常使用的方法． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 讲解 说明 主动 求解 思考 求解 会 了解 学生 知识 掌握 情况 了解 思考 观察 思考 通过例题进一步领会 带领 学生 分析 55 60 65 *运用知识 强化练习 提问 1．判断方程x2?y2?4x?2y?1?0是否表示圆．如果是，巡视 指出圆心和半径． 2．已知圆的方程为x2?y2?4x?0，求圆心的坐标和半径． 指导 3．已知圆的方程为x2?y2?6y?0，求圆心的坐标和半径． *动脑思考 探索新知 观察圆的标准方程(x?a)?(y?b)?r和圆的一般方程222介绍 讲解 说明 说明 强调 引领 x2?y2?Dx?Ey?F?0，可以发现：这两个方程中分别含有三个字母系数a,b,r或D,E,F．确定了这三个字母系数，圆的方程也就确定了．因此，求圆的方程时，关键是确定字母系数a,b,r（或D,E,F）的值． *巩固知识 典型例题 例4 根据下面所给的条件，分别求出圆的方程： （1） 以点(?2,5)为圆心，并且过点(3,?7)； （2） 设点A(4,3)、B(6,?1)，以线段AB为直径； （3） 经过点P(?2,4)和点Q(0,2)，并且圆心在直线x?y?0上． 分析 根据已知条件求出圆心的坐标和半径，从而确定字母系数a、b、r，得到圆的标准方程．这是求圆的方程的常用方法． 解 ⑴ 由于点（?2，5）与点（3，?7）间的距离就是半径，所以半径为 r?(3?2)2?(?7?5)2?13, 故所求方程为 (x?2)2?(y?5)2?169． （2） 设所求圆的圆心为C，则C为线段AB的中点，即?4?63?1?C?,?．半径为线段AB的长度的一半，即 2??2 第8章 直线和圆的方程（教案）