证明 ??1n(n?1)?1(n?1)(n?1)?1, n?1?11而级数?=?发散,n?1n?1n?2n?1? 级数?发散.
n(n?1)n?11?n是发散的. ?2n?11?n1?n1?n1证明：因为un?， ??1?n2(1?n)21?n??11且级数?=?发散，
n?1n?1n=2n?1?n故 级数?是发散的. 21?nn?1?nn（3）判断级数?()的敛散性.
2n?1n?1(2) 证明级数
?1n?n??n?解：?un????()?vn， ???2?2n?1??2n?1nv?()是收敛的几何级数 ??n2n?1n?1?nn所以级数 ?()收敛.
n?12n?1例3 讨论p?级数
而级数
??nn11111?1????????的敛散性 ?pppppn234nn?1（其中p?0).
?111解: ① 若p?1，由于p? ,且?发散
nnn?1n?p?级数发散.
11 ② 若p?1 由 0?n?1?x?n?p?p
nx
6
?ndxndx1?? (n?2,3,4,?), np?n?1np?n?1xp111那么Sn?1?p?p???p
23n2dx3dxndx?1??p??p????
1x2xn?1xp所以
?1??n1??dx?1dx1? ?1??1??ppp?1??1xx?1?px?1??1p, ＝p?1p?1可见{Sn}有界?p?级数收敛. =1?综上知：p?级数
?n
n?1
?
1
p
收敛 ? p?1.
（此结论当定理使用） 另证:p?1时, p?级数
1收敛. ?pnn?1?111u?1??????? ?nppp23nn?1111111?1?(p?p)?(p?p?p?p)
23456711?(p???p)??815111111?1?(p?p)?(p?p?p?p)
22444411?(p???p)??88?1111?1?p?1?p?1?p?1????(p?1)n?1
248n?12?11n?1q??1的收敛级数. 是公比为()?p?1p?122n?17
?
故 p?1时, p?级数提问1: 判定级数 提示:un??1收敛. ?pnn?113n?n12??n?1? 的敛散性.
13n2?n?n(3n?1)?1n(3n?n)?1; 2n??111发散发散发散. ?2?????2nnn?1n?1n?13n?n?12. 判定级数
n(n?1)111??3?vn， 解：?un?n(n2?1)n3n2n?1?2的敛散性.
而级数
?vn??n?1n?1??1n32为收敛的p?级数
所以级数
?n?1?1n(n?1)2收敛.
例4 (1)判定级数 解: 因为 un??n?1?14n?33 的敛散性.
14n?33?1n?3(n?1)33
?1n3??1n32 (n?2,3,?),
又因为
?n?1?1n32是收敛的p?级数;
所以级数
?n?114n?33收敛.
(2)判断级数
3322(n?1?n?1)的敛散性. ?n?1? 8
解 令 un??n3?1?n3?1?0
??un为正项级数.
n?1又un?n3?1?n3?1??2n322n?1?n?133
?2n?13?vn
级数
?n?1?1n32为收敛的P－级数，所以
?vn?1?n收敛，
由比较判别法知 故级数
?(n?1?2n3?1?2n3?1)收敛.
提问:判断下列级数的敛散性
1. ?nn?1n11提示：un?n?n?vn(n?2,3,?),
n2??11收敛收敛， ???nnn?22n?2n?1?正项级数?n收敛.
n?1n（1）
?n2?1（2）判别级数?2的敛散性. 2n?1(n?2)(n?3)n2?1n2?11un?2???vn 2222(n?2)(n?3)(n?1)nn???1n2?1且?vn??2??2收敛. 2n?1n?1nn?1(n?2)(n?3)2222324???? (3)1??33?53?5?73?5?7?9? 9
2n?1??? 3?5?7??(2n?1)2n?12?()n?1(n?1,2,?), 解 由于un?3?3?3??332这是一个公比为的几何级数,因而是收敛的,由比较判
3别法可知原级数收敛.
?例5 设an???40tannxdx.
（1）求
1(an?an?2）的值. ?n?1nan收敛. ??n?1n?（2）证明当??0（常数）时，级数
?（1）解 an?an?2???40tannx(tan2x?1)dx
1 n?1 ?所以
??40tannxdtanx??111(a?a）=?lim(1?)?1 ??nn?2n??nn(n?1)n?1n?1n?1?（2）证明 因为 an??40tannxdx?0
anan?an?211???， ?????1nnn(n?1)n?1且??0时，???1收敛，故原级数收敛.
n?1n?1例6 讨论级数?(a?0)的敛散性. n1?an?1?111?解：1）a?1时由un?且收敛可得 ?nnn1?aan?1a0?原级数收敛.
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