第二专题 广义逆矩阵
广义逆矩阵是E.H.Moore于1920年首次提出来的，1955年R.Penrose利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速的发展。它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。为此，我们从线性方程组Am?nxn?bm的解开始讨论(m?n称为超定方程；m?n称为亚定方程)。
若存在向量x，使Ax?b成立，则称线性方程组为相容方程组，否则称为不相容方程或矛盾方程。对于相容方程组，若A是列满秩的，则有唯一解；否则有无穷多解A??1?A?。我们要找到唯一
?的极小范数解A?。对于矛盾方程我们要找到它的近似解1,4??Am——最小二乘解A?1,3??Al?；如果最小二乘解不唯一，我们要找到唯一的最小二乘解，称为最佳的最小二乘解（或极小范数最小二乘解，或最佳逼近解），A?1,2,3,4??A?。
§1 矩阵的左逆与右逆
设A是n阶矩阵，A可逆当且仅当存在n阶矩阵B，使得
AB?BA?I 当A可逆时，其逆唯一，记为A?1.
下面，我们把方阵的逆矩阵概念推广到m?n矩阵上，定义一种单侧逆.
一、满秩矩阵与单侧逆
定义1 设A?Rm?n，若存在矩阵B?Rn?m，使得
BA?In
?1则称A是左可逆的，称B为A的一个左逆矩阵，记为AL.
若存在矩阵C?Rn?m，使得
AC?Im
?1则称A是右可逆的，称C为A的一个右逆矩阵，记为AR.
下面给出矩阵左逆与右逆的几个等价条件. 定理1 设A?Rm?n，则下列条件是等价的：
(1)A是左可逆的； (2)A的零空间N(A)??0?； (3)m?n,rank(A)?n,即A是列满秩的；(4)ATA是可逆的. 证明
(1)?(2)，设A是左可逆的，则存在B?Rn?m，使得BA?In，?x?N(A), Ax?0，于是x?Inx?BAx?B0?0，即证A的解空
间N(A)??0?.
(2)?(3)，由N(A)??0?，再根据线性方程组解的理论知，R(A)?n?dimN(A)?n，从而A是列满秩的，当然有m?n. (3)?(4)，设rank(A)?n,由dim[R(ATA)]?dimR(AT)?n，
知ATA是可逆的.
(4)?(1)，由ATA可逆，得(ATA)?1ATA?In知(ATA)?1AT是
?1A的一个左逆矩阵，即AL?(ATA)?1AT。
注：左逆的一般表达式为：
?1AL?(ATUA)?1ATU
其中U是使关系式rank(ATUA)?rank(A)成立的任意m阶方阵。 定理2 设A?Rm?n，则下列条件是等价的：
(1)A是右可逆的； (2)A的列空间R(A)?Rm； (3)m?n,rank(A)?m,即A是行满秩的；(4)AAT是可逆的。 其证明留给读者.
由m?rank(Im)?rank(AB)?r(1)?(3)，ank(A)?m得m?n，
R(A)?m，A是行满秩的；由AAT(AAT)?1?Im，知AT(AAT)?1?1是A的一个右逆矩阵，即AR?AT(AAT)?1。
注：右逆的一般表达式为：
?1AR?VAT(AVAT)?1
其中V满足rank(AVAT)?rank(A)。
?400?例1 矩阵A???050??是右可逆的，不是左可逆的。由于
???1/40???10??400???A??01/5????050???01??
???R????31R32?注意到右逆最后一行元素是完全任意的，故存在无穷多个右逆矩阵。
一般地,一个矩阵左可逆未必右可逆,而且右逆矩阵和左逆矩阵都不是唯一的。若同时左可逆和右可逆，则此矩阵存在正则逆。
二、单侧逆与解线性方程组
定理3 设A?Rm?n是左可逆的，B?Rn?m是A的一个左逆矩阵，则线性方程组AX?b有形如X?Bb解的充要条件是
(Im?AB)b?0
若上式成立，则方程组有唯一解
X?(ATA)?1ATb
证明
设方程组AX?b有解X0，则b?AX0?A(BA)X0?ABb，从而(Im?AB)b?0.反过来，若(Im?AB)b?0，则ABb?b，从而
X0?Bb是方程组的解.
当方程组有解时，因为A左逆，所以R(A)?n，从而方程组
AX?b有唯一解.由(ATA)?1AT是A的一个左逆矩阵，所以
X?(ATA)?1ATAX?(ATA)?1ATb，即X?(ATA)?1ATb为AX?b的唯一解。
注：虽然左逆矩阵不唯一，但方程的解唯一。
定理4 设A?Rm?n是右可逆的，则线性方程组AX?b对任何
?1?1 且对A的任意一个右逆矩阵AR，X?ARb?Rm都有解。b是其
解。 特别地，X?AT(AAT)?1b是方程组AX?b的一个解。 证明
?1因A右可逆，则AAR?Im，对任何b?Rm，都有
?1AARb?Imb?b,
?1即X?ARb是方程组AX?b的解。
事实上，矩阵的左逆（或右逆）矩阵还是矩阵的减号逆，自反减号逆，最小范数广义逆，最小二乘广义逆和加号逆。