2．4 平面向量的数量积
2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
基础提升
1．下列命题正确的是( ) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．a·b＝b·a C．若a·b<0，则a与b的夹角为钝角 D．(a·b)·c＝a·(b·c)
解析：a·b＝0?a⊥b，a与b不一定是零向量，故A错；对于C，a与b的夹角可以为π，故C错；a·b∈R，b·c∈R，a与c不一定共线，故D错，故选B. 答案：B
2．若|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则a·b为( ) A．6 B．－6 C．－62 D．62
答案：B
3．如果a·b＝a·c，且a≠0，那么( ) A．b＝c B．b＝λc C．b⊥c
D．b、c在a方向上的投影相等
答案：D
→→·→→＝0，则△ABC为( ) 4．在△ABC中，若CA＋CBCA－CBA．直角三角形 B．正三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案：C
→→
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB·AC等于( )
1
()()
A．－16 B．－8 C．8 D．16
→→
解析：因为∠C＝90°，所以AC·CB＝0，
→→→→→→→·→所以AB·AC＝ACCB＝16，故选D. ＋CBAC＝AC2＋AC·
()()
答案：D
巩固提高
→→→→→→→
6．(2013·山东卷)已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2，若AP＝λAB＋AC，→→
且AP⊥BC，则实数λ的值为________．
→→→→→
解析：把BC转化为AC－AB，再通过AP·BC＝0 求解． →→→→∵AP⊥BC，∴AP·BC＝0.
→→→→→→又AP＝λAB＋AC，BC＝AC－AB， →→→→
∴(λAB＋AC)(AC－AB)＝0. →→→→
即(λ－1)AC·AB－λAB2＋AC2＝0. →→
∴(λ－1)|AC||AB|cos 120°－9λ＋4＝0.
?－1?－9λ＋4＝0.解得λ＝7. ∴(λ－1)×3×2×?2?12
7答案：
12
π
7．已知|a|＝|b|＝5，a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|的值．
3
π125
解析：∵a·b＝|a||b|cos＝5×5×＝，
322
25
∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25＋2×＋25＝75，
2
2
25
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝25－2×＋25＝25.
2∴|a＋b|＝53，|a－b|＝5.
8．已知a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，当向量a＋λb与λa＋b夹角为钝角时，求λ的取值范围．
解析：∵|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为120°，
?－1?＝－1. ∴a·b＝|a||b|cos 120°＝1×2×?2?∵向量a＋λb与λa＋b的夹角为钝角，
(λa＋b)<0. ∴(a＋λb)·
(λa＋b)＝λa2＋(λ2＋1)a·又(a＋λb)·b＋λb2，
∴λ－(λ2＋1)＋4λ<0. 5－215＋21解得λ<或λ>. 22
5－21??5＋21??∴λ的取值范围是?－∞，∪??，＋∞?.
2??2??
→→→
9．在△ABC中，若BC＝a，CA＝b，AB＝c且a·b＝b·c＝c·a，判断△ABC的形状．
解析：如下图所示，a·b＝|a||b|cos(π－C)＝ －|a||b|cos C，
b·c＝|b||c|cos(π－A)＝－|b||c|cos A， c·a＝|c||a|cos(π－B)＝－|c||a|cos B.
→∵a·b＝b·c＝c·a，∴－|a||b|cos C＝－|b||c|cos A，|a|cos C＝|c|cos A，作BD⊥AC于D，则|CD→→→|＝acos C，|AD|＝|c|cos A，∴|CD|＝|AD|. →→
∴D为AC的中点，∴|AB|＝|BC|.
3
→→
同理可证|AB|＝|AC|. ∴△ABC为正三角形．
→→
10．如右图所示，在?ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°.求： →→(1)AD·BC； →→(2)AB·CD； →→(3)AB·DA.
→→
解析：(1)因为AD∥BC，且→→
同，所以AD与BC的夹角是
→→→→所以AD·BC＝|AD|·|BC|cos 0°＝3×3×1＝9.
→→→→→→→→(2)因为AB∥CD，且方向相反，所以AB与CD的夹角是180°，所以AB·CD＝|AB|·|CD|·cos 180°＝4×4×(－1)＝－16.
→→→→→→→→
(3)因为AB与AD的夹角为60°，所以AB与DA的夹角为120°，所以AB·DA＝|AB|·|DA|·cos 120°
方向相0°.
?－1?＝－6. ＝4×3×?2?
4