武汉理工大学《MATLAB应用》课程设计
4．窗函数法设计FIR滤波器
4.1．设计步骤
FIR 滤波器的窗函数法设计过程为：
（9）
式中：Hd(ejΩ)为逼近的理想滤波器频率响应；hd(k)为理想滤波器的单位脉冲响应，是无限长序列。
（1）根据过渡带宽及阻带衰减要求，选择窗函数的类型并估计窗口长度N（或阶数M=N-1），窗函数类型可根据最小阻带衰减As独立选择，因为窗口长度N对最小阻带衰减As没有影响，在确定窗函数类型以后，可根据过渡带宽小于给定指标确定所拟用的窗函数的窗口长度N，设待求滤波器的过渡带宽为Δw，它与窗口长度N近似成反比，窗函数类型确定后，其计算公式也确定了，不过这些公式是近似的，得出的窗口长度还要在计算中逐步修正，原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择较小的N，在N和窗函数类型确定后，即可调用MATLAB中的窗函数求出窗函数wd（n）。
（2）根据待求滤波器的理想频率响应求出理想单位脉冲响应hd（n），如果给出待求滤波器频率应为Hd（ejw），则理想的单位脉冲响应可以用下面的傅里叶反变换式求出：
（10）
在一般情况下，hd（n）是不能用封闭公式表示的，需要采用数值方法表示；从w=0到w=2π采样N点，采用离散傅里叶反变换（IDFT）即可求出。
（3）用窗函数wd(n)将hd(n)截断，并进行加权处理，得到
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h(n)?hd(n)?(n)（11）
如果要求线性相位特性， 则h(n)还必须满足：
根据上式中的正、 负号和长度N的奇偶性又将线性相位FIR滤波器分成四类。 要根据所设计的滤波特性正确选择其中一类。 例如， 要设计线性相位低通特性可选择h(n)=h(N-1-n)一类，而不能选h(n)=-h(N-1-n)一类。
（4）验算技术指标是否满足要求，为了计算数字滤波器在频域中的特性，可调用freqz子程序，如果不满足要求，可根据具体情况，调整窗函数类型或长度，直到满足要求为止。
（12） h(n)??h(N?1?n)4.2．设计要求
（1）窗谱主瓣尽可能地窄，以获得较陡的过渡带；
（2）尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度，也就是使能量尽量集中于主瓣，减小峰肩和纹波，进行增加阻带的衰减。
根据工程经验，给定的滤波器指标参数一般为通带截止频率wp、阻带截止频率ws、实际通带波动Rp和最小阻带衰减As。
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5．MATLAB环境下的设计实例
用窗函数设计FIR带通滤波器，性能指标如下：通带下限截止频率fc1=100HZ，通带上限截止频率fc2=200HZ，采样频率为1000HZ，阶数为81，最小阻带衰减As=-70dB。
分析：从表1可以看出凯泽窗能提供74dB的最小阻带衰减，所以选用凯泽窗进行设计，程序主要部分如下：
程序运行结果如图2所示
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图2 凯泽窗设计的FIR带通滤波器的响应
程序结果如图2所示，滤波器长度为81，最小阻带衰减为-80dB，满足设计要求。
如果不考虑最小阻带衰减，也可用另外五个窗函数设计，只需修改程序中的加窗函数即可。
矩形窗程序修改如下：w_box=(boxcar(M))';
h=hd.*w_box;
图3 矩形窗设计的FIR带通滤波器的响应
程序结果如图3所示，滤波器长度为81，最小阻带衰减为-21dB。
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三角窗程序修改如下：w_tri=(triang(M))';
h=hd.*w_tri;
图4 三角窗设计的FIR带通滤波器的响应
程序结果如图4所示，滤波器长度为81，最小阻带衰减为-25dB。
汉宁窗程序修改如下：w_han=(hanning(M))';
h=hd.* w_han ；
图5
汉宁窗设计的FIR带通滤波器的响应
程序结果如图5所示，滤波器长度为81，最小阻带衰减为-44dB。
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