a的取值范围 解集 a的取值范围 解集
①sinx?a的解集 ②cosx?a的解集
a＞1 ? a＞1 ?
a=1 ?x|x?2k??arcsina,k?Z? a=1 ?x|x?2k??arccosa,k?Z? a＜1 ?x|x?k????1?karcsina,k?Z
?a＜1 ?x|x?k??arccosa,k?Z?
③tanx?a的解集：?x|x?k??arctana,k?Z? ③cotx?a的解集：?x|x?k??arccota,k?Z? 二、三角恒等式. 组一
n?1 cos?cos2?cos4?...cos2n??sin2?n?12sin?组二
sin3??3sin??4sin3?cos3??4cos3??3cos?sin2??sin2??sin?????sin??????cos2??cos2??cos2k?1n?k?cos?2cos?4cos?8?cos?2n?sin?2nsin?2n
?cos(x?kd)?cosx?cos(x?d)???cos(x?nd)?k?0nsin((n?1)d)cos(x?nd)
sind?sin(x?kd)?sinx?sin(x?d)???sin(x?nd)?k?0nsin((n?1)d)sin(x?nd)
sindtan(?????)?tan??tan??tan??tan?tan?tan?
1?tan?tan??tan?tan??tan?tan?组三 三角函数不等式
sinx＜x＜tanx,x?(0,?2) f(x)?sinx在(0,?)上是减函数 x若A?B?C??，则x2?y2?z2?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC
高中数学第五章-平面向量
考试内容：
向量．向量的加法与减法．实数与向量的积．平面向量的坐标表示．线段的定比分点．平面向量的数量积．平面两点间的距离、平移． 考试要求：
（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． （2）掌握向量的加法和减法．
（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． （5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用
第21页 共73页
掌握平移公式．
§05. 平面向量 知识要点
1.本章知识网络结构
2.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向.
(2)向量的表示：几何表示法 AB；字母表示：a；
坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜. (4)特殊的向量：零向量a＝O?｜a｜＝O.
单位向量aO为单位向量?｜aO｜＝1.
?x1?x2(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）??
y?y2?1(6) 相反向量：a=-b?b=-a?a+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量. 3.向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质 a?b?b?a 向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 a?b?(x1?x2,y1?y2) (a?b)?c?a?(b?c) AB?BC?AC 向量的 减法 a?b?a?(?b) 三角形法则 a?b?(x1?x2,y1?y2) AB??BA,OB?OA?AB 1.数 乘 向 量 ?a是一个向量,满?(?a)?(??)a (???)a??a??a 足:|?a|?|?||a| ?a?(?x,?y) 2.?>0时, ?a与a同向; ?(a?b)??a??b a//b?a??b ?<0时, ?a与a异向; 第22页 共73页
?=0时, ?a?0. a?b是一个数 向 量 的 数 量 积 1.a?0或b?0时， a?b?b?a (?a)?b?a?(?b)??(a?b) a?b?0. 2.a?b?x1x2?y1y2 (a?b)?c?a?c?b?c a?0且b?0时，ab?|a||b|cos(a,b)a?|a|2即|a|=x2?y2 2|a?b|?|a||b| 4.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，
λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)两个向量平行的充要条件
a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b?a·b＝O?x1x2＋y1y2＝O. (4)线段的定比分点公式
设点P分有向线段P1P＝λPP2，则 1P2所成的比为λ，即POP＝
11＋OPOP2 (线段的定比分点的向量公式) 11??1???x?????y???x1??x2,1?? (线段定比分点的坐标公式) y1??y2.1??当λ＝1时，得中点公式：
x1?x2?x?,?1?2OP＝（OP 1＋OP2）或?2?y?y1?y2.?2? (5)平移公式
设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′），
第23页 共73页
则OP?＝OP+a或??x??x?h,
?y??y?k.曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y－ｋ＝f（x－ｈ) (6)正、余弦定理 正弦定理：
abc???2R. sinAsinBsinC2
2
2
余弦定理：a＝b＋c－2bccosA， b2＝c2＋a2－2cacosB， c2＝a2＋b2－2abcosC.
（7）三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r.
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△=P?P?a??P?b??P?c? [海伦公式] ⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb A[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心. 如图： AAFE cAcb bOacDBNCFbB EDBaCrFI rCraE IaaaCB1图 图2 图3 图4
图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr 图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra
附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.
⑸已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即
a?b?c] 2则：①AE=s?a=1/2（b+c-a） ②BN=s?b=1/2（a+c-b） ③FC=s?c=1/2（a+b-c） 综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）.
第24页 共73页
特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=
a?b?cab（如图3）. ?2a?b?ctanA?tanB??tanC，?结论！
1?tanAtanB⑹在△ABC中，有下列等式成立tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC. 证明：因为A?B???C,所以tan?A?B??tan???C?，所以
2AC2BD?AB2BC⑺在△ABC中，D是BC上任意一点，则AD??BD?DC.
BC证明：在△ABCD中，由余弦定理，有AD2?AB2?BD2?2?AB?BDcosB?① AB2?BC2?AC2在△ABC中，由余弦定理有cosB??②，②代入①，化简
2AB?BCAC2BD?AB2BC可得，AD??BD?DC（斯德瓦定理）
BC2A图5①若AD是BC上的中线，ma?②若AD是∠A的平分线，ta?③若AD是BC上的高，ha?⑻△ABC的判定：
2a12b2?2c2?a2； 22Bbc?p?p?a?，其中p为半周长； b?cDCp?p?a??p?b??p?c?，其中p为半周长.
c2?a2?b2?△ABC为直角△?∠A + ∠B =?
2c2＜a2?b2?△ABC为钝角△?∠A + ∠B＜c2＞a2?b2?△ABC为锐角△?∠A + ∠B＞
? 2? 2a2?b2?c2附：证明：cosC?，得在钝角△ABC中，cosC?0?a2?b2?c2?0,?a2?b2?c2
2ab⑼平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和.
a?b2?a?b2?2(a2?b2)
空间向量
1．空间向量的概念：
具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量
⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
??OB?OA?AB?a?b ??BA?OA?OB?a?b
?OP??a(??R)
第25页 共73页