第一章 初等积分法
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的，在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等.这些方程都是要把研究的问题中的已知量和未知量之间的关系找出来，列出包含一个未知量或几个未知量的一个或者多个方程式，然后求取方程（组）的解.这里，方程（组）的解为常数.
然而在实际生活中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题.比如：求物体在一定条件下运动的规律（比如某物体做匀速直线运动，速度为5，求其位移变化的规律）；求满足一定条件（比如在某曲线任意点处的斜率为该点横坐标的2倍）的曲线的方程等等.
物体运动规律、曲线方程在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数.也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求出一个或者几个未知的函数.
在数学上，解决上述问题也需要建立方程，不过建立的是含有未知函数自变量、未知函数及未知函数的导数的方程（比如上述两个问题建立的方程为：
dsdy?5，?2x），这类方程就叫做微分方程. dtdx本章主要介绍微分方程的基本概念及几类简单的微分方程的解法.
1.1 微分方程的基本概念
300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现.而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为：微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系.而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一
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旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.通过下面的例子，你将会看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.
例1 自由落体运动问题
设质点B作自由落体运动，即只考虑重力对物体的作用而忽略空气阻力等其它外力，设质点B做垂直于地面的运动，取垂直地面向上的方向为s正向，力和速度的正向亦如此.s?s?t?表示B在时刻t的位置坐标，所以结合《数学分析》中
dsd2s所学的导数的物理意义知：s??t??表示B在时刻t的即时速度，s???t??2表
dtdt示B在时刻t的即时加速度.假设B的质量为m，重力加速度为g，由牛顿第二定律得：ms???t???mg（‘?’表示g与s方向相反），从而得到
d2s??g (1.1) 2dt解之即可得到自由落体运动的位移公式，在(1.1)式两边对t积分两次可得
1s?t???gt2?C1t?C2， (1.2)
2其中C1和C2是两个独立的任意常数.可以验证(1.2)就是方程(1.1)的解.
例2 求曲线的方程问题
某曲线y?f?x?过点?0,1?，且其上每一点处的斜率都等于该点横坐标的2倍，求该曲线方程.
分析：根据《数学分析》中所学的导数的几何意义及本题题意知：
y??2x. (1.3)
且，当x?0时，f?0??1.
(1.3)式可变形为
dy?2xdx
上式两边直接对x积分得
y?x2?C. (1.4)
把x?0时，y?f?0??1代入(1.4)得
C?1.
于是所求曲线方程为
y?x2?1.
2
可以验证上式就是方程(1.3)的解.
上述两个例子中的关系式(1.1)和(1.3)中都含有未知函数的导数，它们都是微分方程.一般来说，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的导数之间关系的等式.若其中的未知函数只含有一个自变量，则称为常微分方程；若未知函数含有两个或两个以上自变量，则称该微分方程为偏微分方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时也简称为微分方程或方程.
例如下面的方程都是常微分方程
dy?2x (1.5) dx1?y2dy? (1.6) 2dx1?xx???t??x?t??0 (1.7)
yy???y?2?0 (1.8)
在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.如：(1.5)、(1.6)是一阶微分方程，(1.7)、(1.8)是二阶微分方程.这样，一阶常微分方程的一般形式可表为
F?x,y,y???0 (1.9)
如果在(1.9)中能将y?解出，则得到方程
y??f?x,y? (1.10)
或
M?x,y?dx?N?x,y?dy?0 (1.11)
(1.9)称为一阶隐式方程,(1.10)称为一阶显式方程，(1.11)称为微分形式的一阶方程.
n阶隐式方程的一般形式为
Fx,y,y?,y??,?,y(n)?0 (1.12)
??n阶显式方程的一般形式为
y?n??fx,y?,y??,??,y?n?1?
在方程(1.12)中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：
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???n?1???y?n??Pxy???Pn?1?x?y??Pn?x?y?f?x? （1.13） 1显然，方程(1.5)是一阶线性方程；方程(1.6)是一阶非线性方程；方程(1.7)是二阶线性方程；方程(1.8)是二阶非线性方程.
在前面我们验证了(1.2)就是方程(1.1)的解、(1.4)就是方程(1.3)的解，下面我们给出微分方程的解的定义
定义1.1 设函数y???x?在区间I上连续，且有直到n阶的导数.如果把
y???x?代入方程(1.12)，得到在区间I上关于x的恒等式，则称y???x?为方程(1.12)在区间I上的一个解.
这样，从定义1.1可以直接验证：
1. 函数y?x2?C是方程(1.5)在区间???,???上的解，其中C是任意的常数. 2. 函数y?sin?arcsinx?C?是方程(1.6)在区间??1,?1?上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显的常数解y??1，这两个解不包含在上述解中.
3. 函数x?C1cost?C2sint是方程(1.7)在区间???,??? 的解，其中C1和C2是两个独立的任意常数.
4. 函数y2?C1x?C2是方程(1.8)在区间???,???上的解，其中C1和C2是两个独立的任意常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成. 事实上，在???,???上有
dxd2x??C1sint?C2cost,2???C1cost?C2sint? dtdx所以在???,???上有
d2x?x?0， dt2从而该函数是方程(1.6)的解.
从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把n阶常微分方程(1.12)的含有n个独立的任意常数C1,C2,??,Cn的解
y???x,C1,C2,??,Cn?，称为该方程的通解，如果方程(1.12)的解y???x?不包含任意常数，则称它为特解.由隐式表出的通解称为隐式通解或通积分.
由上面的定义，不难看出，函数y?x2?C，y?sin?arcsinx?C?和x?C1cost
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?C2sint分别是方程(1.5)，(1.6)和(1.7)的通解；函数y2?C1x?C2是方程(1.8)的隐式通解；而函数y??1是方程(1.8)的特解，y?x2?1是方程(1.3)的特解.
由于通解中含有任意常数，所以不能完全准确的反映某一客观事物的规律性.要想完全准确的反映客观事物的规律性，必须确定这些任意常数的值.因此，要根据问题的实际情况，提出或找到确定这些常数的条件. 例如，例2中的“某曲线f?x?过点?0,1?”即“f?0??1”就是这样的条件.
下面我们寻找一下确定例1中方程(1.1)的通解中的任意常数C1和C2的条件. 由于质点作的是自由落体运动，所以根据物理知识可知，质点的初速度为0，即
ds?0；另，可设质点距地面高度为H，即s?0??H.根据这两个条件我们dtt?0可以确定方程(1.1)的通解中的任意常数C1和C2的值.
像这样能帮助确定通解中所含任意常数取值的条件叫做初始条件.求微分方程满足初始条件的解的问题称为微分方程的初值问题，有时也称为柯西（Cauchy）问题.
一阶微分方程的初值问题记作
??y??f?x,y?, ?y?y.0??x?x0二阶微分方程的初值问题记作
y???f?x,y,y??,?? ?y???y,y?y.00?x?x0?x?x0对于一个n阶方程，初值条件是
?,y???x0??y0??,?,y?n?1??x0??y0y?x0??y0,y??x0??y0?,y0??,?,y0其中x0是自变量的某个取定值，而y0,y0数的给定值.于是n阶方程的初值问题常记为
?n?1??n?1?. (1.14)
是相应的未知函数及导
?y?n??fx,y?,y??,??,y?n?1?,??n?1? (1.15) ?n?1??,y???x0??y0??,?,y?x0??y0.?y(x0)?y0,y?(x0)?y0??????例3 求方程x???x?0的满足初值条件x???1,x?????1的解.
?4??4???解 前面我们验证过x?C1cost?C2sint是方程的通解.
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