第三章 数系的扩充与复数的引入 §3.1 数系的扩充和复数的概念 3．1.1 数系的扩充和复数的概念 课时目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
1．把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做________，其中i叫做____________，全体复数所成的集合C叫做__________．
2．复数通常用z表示，z＝________________叫做复数的代数形式，其中__________分别叫复数z的实部与虚部．
3．设z＝a＋bi(a，b∈R)，则当且仅当________时，z为实数．当________时，z为虚数，当____________时，z为纯虚数．
4．实数集R是复数集C的__________，即__________．这样复数包括________和________．
5．a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)的充要条件是
________________________________________________________________________．
一、选择题
1．“a＝0”是“复数a＋bi (a，b∈R)为纯虚数”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．设a，b∈R，若(a＋b)＋i＝－10＋abi (i为虚数单位)，则(a－b)2等于( ) A．－12 B．－8 C．8 D．10
3．若z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 4．下列命题中：
①两个复数不能比较大小；
②若z＝a＋bi，则当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数； ③x＋yi＝1＋i?x＝y＝1； ④若a＋bi＝0，则a＝b＝0. 其中正确命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3
5．下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( ) A．±1 B．±i C．±2i D．±2i
6．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a、b的值分别是( ) A.2，1 B.2，5 C．±2，5 D．±2，1 题 号 答 案 二、填空题 7．若(m2－5m＋4)＋(m2－2m)i>0，则实数m的值为________．
8．已知复数z1＝(3m＋1)＋(2n－1)i，z2＝(n＋7)－(m－1)i，若z1＝z2，实数m、n的值分别为________、________. 9．给出下列几个命题：
①若x是实数，则x可能不是复数； ②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根；
⑤若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ⑥两个虚数不能比较大小． 则其中正确命题的个数为________． 三、解答题
2m2＋m－310．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是：(1)实数；(2)虚数；
m＋3(3)纯虚数．
1 2 3 4 5 6
11.已知集合P＝{5，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，Q＝{4i,5}，若P∩Q＝P∪Q，求实数m 的值． 能力提升
a2－7a＋6
12．已知复数z＝2＋(a2－5a－6)i (a∈R)，试求实数a取什么值时，z分别为：
a－1(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
1．对于复数z＝x＋yi只有当x，y∈R时，才能得出实部为x，虚部为y(不是yi)，进而讨论复数z的性质．
2．复数相等的充要条件是复数问题实数化的依据．
答案
知识梳理
1．复数 虚数单位 复数集 2．a＋bi(a，b∈R) a与b 3．b＝0 b≠0 a＝0且b≠0 4．真子集 RC 实数 虚数 5．a＝c且b＝d 作业设计
1．B [复数a＋bi (a，b∈R)为纯虚数?a＝0且b≠0.]
??a＋b＝－10
2．A [由?，
??ab＝1
可得(a－b)2＝a＋b－2ab＝－12.]
2
??x－1＝0，
3．A [∵z为纯虚数，∴?∴x＝－1.]
??x－1≠0，
4．A 5.C
6．C [由题意得：a2＝2，－(2－b)＝3， ∴a＝±2，b＝5.故选C.] 7．0
2
??m－5m＋4>0；
解析 由题意得：?2
??m－2m＝0.
解得：m＝0. 8．2 0
??3m＋1＝n＋7
解析 两复数相等，即实部与实部相等，虚部与虚部相等．故有?，
2n－1＝－?m－1???
解得m＝2，n＝0. 9．2
解析 因为实数是复数，故①错；②正确；因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为
零，故③错；因为－1的平方根为±i，故④错；当a＝－1时，(a＋1)i是实数0，故⑤错； ⑥正确．故答案为2.
10．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.
2
??m－3m－18＝0
故若使z为实数，则?，
??m＋3≠0
解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0， 所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．
(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.
??
故若使z为纯虚数，则?m＋3≠0
??m－3m－18≠0
2
2m2＋m－3＝0
，
3
解得m＝－或m＝1.
2
3
所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．
211．解 由题知P＝Q，
所以(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
2??m－2m＝0所以?2，
m＋m－2＝4??
解得m＝2.
a2－7a＋612．解 (1)当z为实数时，则a－5a－6＝0，且2有意义，∴a＝－1，或a＝6，
a－1
2
且a≠±1，
∴当a＝6时，z为实数．
2
a－7a＋62
(2)当z为虚数时，则a－5a－6≠0，且2有意义，∴a≠－1，且a≠6，且a≠±1.
a－1
∴当a≠±1，且a≠6时，z为虚数，
即当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数． (3)当z为纯虚数时，则有a2－5a－6≠0， a2－7a＋6?a≠－1，且2＝0.∴?且a＝6，
a－1?a≠6.∴不存在实数a使z为纯虚数．