第六章 沉降
6.1 直径60μm的石英颗粒，密度为2600kg/m3，求在常压下，其在20℃的水中和20℃的空气中的沉降速度（已知该条件下，水的密度为998.2kg/m3，黏度为1.005×10-3Pa·s；空气的密度为1.205kg/m3，黏度为1.81×10-5Pa·s）。
解：（1）在水中
假设颗粒的沉降处于层流区，由式（6.2.6）得：
ut???P???gdP18?2??2600?998.2??9.81??60?10?6?18?1.005?10?32?3.13?10?3m/s
检验：ReP?dPut??60?10?6?3.13?10?3?998.2??0.186?2
1.005?10?3位于在层流区，与假设相符，计算正确。 （2）在空气中 应用K判据法，得
K?dPg???P???3?2??60?10?6??9.81?1.205?26003?1.81?10??52?20.3?36
所以可判断沉降位于层流区，由斯托克斯公式，可得：
?6?P???gdP22600?9.81??60?10??ut???0.28m/s 18?18?1.81?10?52
6.2 密度为2650kg/m3的球形颗粒在20℃的空气中自由沉降，计算符合斯托克斯公式的最大颗粒直径和服从牛顿公式的最小颗粒直径（已知空气的密度为1.205kg/m3，黏度为1.81×10-5Pa·s）。
解：如果颗粒沉降位于斯托克斯区，则颗粒直径最大时，ReP?dPut???2
?????gdP?所以ut?2，同时ut?P
18?dP?2所以dp?32?18?2，代入数值，解得dp?7.22?10?5m
???p???g41
同理，如果颗粒沉降位于牛顿区，则颗粒直径最小时，ReP?dPut???1000
?所以ut?1000，同时ut?1.74dP???p???gdp? ?2所以dp?32.33，代入数值，解得dp?1.51?10?3m
???p???
6.3 粒径为76μm的油珠（不挥发，可视为刚性）在20℃的常压空气中自由沉降，恒速阶段测得20s内沉降高度为2.7m。已知20℃时，水的密度为998.2kg/m3，黏度为1.005×10-3Pa·s；空气的密度为1.205kg/m3，黏度为1.81×10-5Pa·s。求：
（1）油的密度；
（2）相同的油珠注入20℃水中，20s内油珠运动的距离。
解：（1）油珠在空气中自由沉降的速度为 ut?L/s?2.7/20?0.135m/s 假设油珠在空气中自由沉降位于层流区，由斯托克斯公式
ut???p???gdp18?2
18?1.81?10?5?0.1359.81??76?10?6?2?p?18?utgdp2????1.205?777.4kg/m3
检验油珠的雷诺数为Rep?属于层流区，计算正确。
dput??76?10?6?0.135?1.205??0.68?2 ?51.81?10（2）假设油珠在水中自由上浮位于层流区，由斯托克斯公式
ut??????gdp2p18???998.2?777.4??9.81??76?1018?1.005?10?3?62??6.92?10?4m/s
?4计算油珠的雷诺数Rep?dput???76?10??6.92?10??6?998.21.005?10?3?0.052?2
属于层流区，假设正确，所以油珠在水中运动的距离为
L?utt?6.92?10?4?20?0.0138m
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6.4容器中盛有密度为890kg/m3的油，黏度为0.32Pa·s，深度为80cm，如果将密度为2650kg/m3、直径为5mm的小球投入容器中，每隔3s投一个，则：
（1）如果油是静止的，则容器中最多有几个小球同时下降？
（2）如果油以0.05m/s的速度向上运动，则最多有几个小球同时下降？ 解：（1）首先求小球在油中的沉降速度，假设沉降位于斯托克斯区，则
ut???P???gdP18?2??2650?890??9.81??5?1018?0.32?32??7.49?10?2m/s
检验Rep?dput??5?10?3?7.49?10?2?890??1.04?2
0.32沉降速度计算正确。
小球在3s内下降的距离为7.49?10?2?3?22.47?10?2m
?80?10?/?22.47?10??3.56
?2?2所以最多有4个小球同时下降。
（2）以上所求得的小球的沉降速度是小球与油的相对速度，当油静止时，也就是相对于容器的速度。当油以0.05m/s的速度向上运动，小球与油的相对速度仍然是ut?7.49?10?2 m/s，但是小球与容器的相对速度为u'?2.49?10?2 m/s
所以，小球在3s内下降的距离为2.49?10?2?3?7.47?10?2m
?80?10?/?7.47?10??10.7
?2?2所以最多有11个小球同时下降。
6.5 设颗粒的沉降符合斯托克斯定律，颗粒的初速度为零，试推导颗粒的沉降速度与降落时间的关系。现有颗粒密度为1600kg/m3，直径为0.18mm的小球，在20℃的水中自由沉降，试求小球加速到沉降速度的99%所需要的时间以及在这段时间内下降的距离（已知水的密度为998.2kg/m3，黏度为1.005×10-3Pa·s）。
解：（1）对颗粒在水中的运动做受力分析
F?Fg?Fb?FD??6dp3?pg??6dp3?g?3??dpu
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所以，
(?p??)g18?uduFF????2
?dtm?pdp?pdp3?p6tut对上式积分得，?dt??00du
(?p??)g18?u?2?pdp?p18??uln?1?得t??18??utut?dp2?p?2t???dp?p?，其中Ut为终端沉降速度， ?或u?ut?1?e?????2??p???gdp218???1600?998.2??9.81??0.18?10?3?18?1.005?10?3?1.06?10?2m/s
检验Rep?utdp??1.06?10?2?0.18?10?3?998.2??1.9?2，符合题意， ?31.005?10所以小球加速到沉降速度99%的时间为
?ut??ln?1?18??utdp2?p0.18?10?3??1600??ln?1?0.99??1.32?10?2s ????318?1.005?10?218??2t??dLd?（2）由u??ut?1?epp?
??dt??18???d2???18?2t?t???2dp?pdp?ppp?dt?ut?t??e所以L?ut??1?e?1??
0????18?????????t?3???18?1.005?210?1.32?10?2???320.18?10??1600??0.18?10?3??1600?????2?2?4L?1.06?10??1.32?10?e?1?1.1?10m?3???18?1.005?10????????
6.6 落球黏度计是由一个钢球和一个玻璃筒组成，将被测液体装入玻璃筒，然后记录下钢球落下一定距离所需要的时间，即可以计算出液体黏度。现在已知钢球直径为10mm，密度为7900 kg/m3，待测某液体的密度为1300 kg/m3，钢球在液体中下落200mm，所用的时间为9.02s，试求该液体的黏度。
解：钢球在液体中的沉降速度为ut?L/s?200?10?3/9.02?0.022m/s 假设钢球的沉降符合斯托克斯公式，则
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????2p???gdp18ututdp???7900?1300??9.81??10?10?3?18?0.0222s ?16.35Pa·
检验：Rep?
?0.022?10?10?3?1300??0.017?2，假设正确。
16.356.7 降尘室是从气体中除去固体颗粒的重力沉降设备，气体通过降尘室具有一定的停留时间，若在这个时间内颗粒沉到室底，就可以从气体中去除，如下图所示。现用降尘室分离气体中的粉尘（密度为4500kg/m3），操作条件是：气体体积流量为6m3/s，密度为0.6kg/m3，黏度为3.0×10-5Pa·s，降尘室高2m，宽2m，长5m。求能被完全去除的最小尘粒的直径。
含尘气体
降尘室 ut ui 净化气体 图6-1 习题6.7图示
解：设降尘室长为l，宽为b，高为h，则颗粒的停留时间为t停?l/ui，沉降时间为t沉?h/ut，当t停?t沉时，颗粒可以从气体中完全去除，t停?t沉对应的是能够去除的最小颗粒，即l/ui?h/ut
因为ui?qVhuhqq6，所以ut?i?V?V??0.6m/s hbllhblb5?2假设沉降在层流区，应用斯托克斯公式，得
dpmin?检验雷诺数
Rep?18?ut18?3?10?5?0.6??8.57?10?5m?85.7μm
9.81??4500?0.6?g??p???dput??8.57?10?5?0.6?0.6??1.03?2，在层流区。
3?10?5所以可以去除的最小颗粒直径为85.7μm
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