毕业设计(论文) 开题报告
题 目: 二阶常微分方程解的存在问题分析
院系名称： 专业班级： 学生姓名： 学 号： 指导教师： 教师职称：
2012 年 3 月 16 日
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开题报告填写要求
1．开题报告（含“文献综述”）作为毕业设计（论文）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一。此报告应在指导教师指导下，由学生在毕业设计（论文）工作前期内完成，经指导教师签署意见及所在专业审查后生效。
2．开题报告内容必须用黑墨水笔工整书写或按教务处统一设计的电子文档标准格式（可从教务处网页上下载）打印，禁止打印在其它纸上后剪贴，完成后应及时交给指导教师签署意见。
3．“文献综述”应按论文的格式成文，并直接书写（或打印）在本开题报告第一栏目内，学生写文献综述的参考文献应不少于15篇（不包括辞典、手册）。
4．有关年月日等日期的填写，应当按照国标GB/T 7408—94《数据元和交换格式、信息交换、日期和时间表示法》规定的要求，一律用阿拉伯数字书写。如“2006年11月20日”或“2006-11-30”。
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毕业设计（论文）开题报告
文 献 综 述 一、问题的研究现状与研究途径 常微分方程已有悠久的历史，而且继续保持着进一步发展的活力，主要原因是它的根源深扎在各种实际问题之中。 牛顿最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。 他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用现在叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。17世纪就提出了弹性问题，这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等。 20世纪30年代直至现在，是常微分方程各个领城迅速发展、形成各自相对独立的而又紧密联在一起的分支学科的时期。 1927－1945年间定性理论的研究主要是跟无线电技术联系在一起的。第二次世界大战期间由于通讯等方面的要求越来越高，大大地激发了对无线电技术的研究，特别是非线性振动理论的研究得到了迅速的发展。 40年代后数学家们的注意力主要集中在抽象动力系统的拓扑特征, 如闭轨是否存在、结构是否稳定等, 对于二维系统已证明可以通过奇点及一些特殊的闭轨和集合来判断结构稳定性与否；而对于一般系统这个问题尚未解决。在动力系统理论方面, 我国著名数学家廖山涛教授, 用从典范方程组到阻碍集一整套理论和方法, 解决了一系列主要问题, 特别是C’封闭引理的证明, 对结构稳定性的充要条件等方面都作出了主要贡献。 在当代由电力网、城市交通网、自动运输网、数字通讯网、灵活批量生产网、复杂的工业系统、指令控制系统等提出大系统的数学模型是常微分方程组描述的。对这些系统的稳定性研究, 引起了越来越多学者的兴趣, 但目前得到的成果仍然只是初步的。 常微分方程的概念、解法和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。 求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中3
得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。 一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。 存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。由于大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。微分方程的近似解法（包括数值解法）具有十分重要的实际意义，而解的存在和唯一又是进行近似计算的前提。因为如果解根本不存在，却要去近似地求它，问题本身是没有意义的；如果有解存在而不唯一，由于不知道要确定是哪一个解，却要去近似地确定它，问题也是不明确的。解的存在唯一性定理保证了所要求的解的存在和唯一，因此它也是近似求解的前提和理论基础。此外，我们将看到在定理的证明中还具体地提出了求近似解的途径，这就更增添了存在唯一性定理的实用意义。 由于种种条件的限制，实际测出的初始数据往往是不精确的，它只能近似地反映初始状态。因此我们以它作为初值条件所得到的解是否能用做真正的解呢？这就产生了解对初值的连续依赖性问题，即当初值微小变动时，方程的解的变化是否也是很小呢？如果不然的话，这样所求得的解就失去了实用的意义，因为它可能与实际情况产生很大的误差。 在科学研究、工程技术中，常常需要将某些实际问题转化为二阶常微分方程问题，因此，研究不同类型的二阶常微分方程的求解方法及探讨其解的存在唯一性问题，是十分重要的。 我们很容易求出二阶常系数齐次线性微分方程y''?ay'?by?0的通解y(x) ，对于其对应的非齐次线性微分方程y''?ay'?by?f(x)，只需求出它的一个特解y0(x)，就能得到该方程的通解y(x)?y(x)?y0(x)。从而，如何求出特解y0(x)，也是我们要解决的一个问题。而对于二阶变系数齐次微分方程，如何将其常系数化或用某些特殊解法将其求出，都是我们要讨论的问题。当方程的解存在时，解是否唯一？解的存在唯一性定理给我们~4
提供了解决该问题的依据。 二、问题研究存在的不足与前景 现今对于二阶线性微分方程的研究已经取得了不少成就，尤其在二阶常系数线性微分方程的求解问题和解的存在唯一性定理等方面卓有成效。二阶微分方程的解的存在唯一性定理不仅可判断解的存在唯一性，而且还有着广泛的应用。而幂级数解法作为求解二阶变系数齐次线性微分方程的一种方法，其过程还是比较繁琐的，计算量偏大，且需要考虑函数是否解析，幂级数在某个区间是否收敛等。另外，对于二阶变系数非齐次微分方程，目前还尚有通用的求解方法，只有一些特殊类型是可以求解的。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 5