2007年高考数学解答题专项训练（7）
1．袋中有4个红球，3个黑球，从中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。求： （Ⅰ）今从袋中随机取4个球，求得分为7分的概率；
（Ⅱ）今从袋中每次摸一个球，看清颜色后放回再摸下次，连续进行4次，求得分不少于6分的概率。 2．已知△ABC的面积S?33, 且AB?BC?6.
（Ⅰ）求AC长的最小值；
（Ⅱ）当AC长取最小值时，求AB在AC上的射影。
3．已知四边形ABCD中，?BAD??BDC?90?，AB?AD?22，BC?5，将?ABD 沿对角线BD折起，折起后，点A的位置记为A ，使平面A BD?平面BCD。 （Ⅰ）求证：平面A BC?平面A DC； （Ⅱ）求二面角A?BC?D的正切值； （Ⅲ）求三棱锥A ?BCD的体积。
4．在?ABC中，已知A(0,a)，B(0,?a)，AC、BC两边
侧的点M、N，且满足OM?ON?4a2（a为不等于零的常数）． （Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）如果存在直线l:y?kx?1(k?0)，使l与点C的轨迹相交于不同的P、Q两点，且AP?AQ，求a的取值范围． 5．已知函数f?x??x?ax?b定义在区间??1,1?上，且f?0??f(1)。又P?x1?y1?、Q?x2?y2?是其图像上任意两点
3//////所在的直线分别与x轴交于原点同
?x1?x2?。
（Ⅰ）求证：f?x?的图像关于点?0,b?成中心对称图形； （Ⅱ）设直线PQ的斜率为k，求证：k?2； （Ⅲ）若0?x1?x2?1，求证：y1?y2?1。
2007年高考数学解答题专项训练（7）解答
1、解：（Ⅰ）设从袋中取出得4个球中由x个红球，y个黑球，则由?个黑球，所以得分为7分得概率为:
314C4C3A412 P1??435A7?x?y?4?x?3 即从袋中取出了3个红球与1??2x?y?7y?1??答：从袋中随机取4个球，得分为7分的概率为
12。 354，取得黑球得概率是7（Ⅱ）从袋中有放回得取球，可以看作是独立重复试验，显然，每次摸一个球，取得红球得概率是
3，仍设从袋中取出得4个球中由x个红球，y个黑球，则有 7?x?y?4?x?2?x?3?x?4或或，所以连续进行4次，得分不少于6分的概率为?????2x?y?6y?2y?1y?0????331888242343444P2?C4()?()2?C4()??C4()?或
77777240138143218880403414P2?1?C4()()?C4??()3?1???
7777240124012401答：从袋中每次摸一个球，看清颜色后放回再摸下次，连续进行4次，得分不少于6分的概率为2、解:(Ⅰ)由题意知,AB?BC?|AB||BC|cos??6 ①
1888。 240111|AB||BC|sin(???)?|AB||BC|sin??33 ② 22?由①②, 得tan??3 ，∵??(0,?)，∴ ??，
362? |AB||BC|??12且?ABC?cos?3S?
由余弦定理得：|AC|2＝|AB|2?|BC|2?2|AB||BC|COS?ABC
?2|AB||BC|(1?COS2?3)?2?12??36， 32∴|AC|?6,当且仅当AB＝BC?23时取最小值6。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，此时?ABC为等腰三角形，?BAC??6，
AB在AC上的射影为： |AB|cos?6?23?3?3 23、（Ⅰ）证明：∵ 平面 A?BD?平面BCD，且CD?BD
∴ CD?平面A?BD ∴ CD?A?B（2分）
又 ∵ A?B?A?D ∴ A?B?平面A?CD（3分） ∵ A?B?平面A?BC ∴ 平面A?BC?平面A?DC
A/
D E
（Ⅱ）解：作A?E?BD于E， ∵ 平面A?BD?平面BCD ∴ A?E?平面BCD（5分）
作EF⊥BC于F，连A?F，则A?F?BC ∴ ?A?FE为二面角A??BC?D的平面角 ∵ A?B?A?D?22 ?BA?D?90? ∴ A?E?2 BD=4
∵ BC=5, ∴ ?BDC?90?, ∴ CD=3.
在Rt?BEF中，∵ BE=2 ∴ EF?BEsin?DBC?2?在Rt?A?EF中，tan?A?FE? （Ⅲ）解：∵ VA??BCD?VC?A?BD36? 555 3111??S?A?BD?CD???22?22?3?4 3324、解：（Ⅰ）设点C(x,y)(x?0)，M(xM,0),N(xN,0)．
当y?a时，AC//x轴，当y??a时， BC//x轴，与题意不符，所以y??a; 由A．C．M三点共线有
a?ya?0ax?，解得xM?．
0?xM0?xa?yax． a?yaxax??4a2， a?ya?y同理由B．C．N三点共线，解得xN??xM?xN?0， ?OM?ON?xM?xN?化简得点C的轨迹方程为x2?4y2?4a2(x?0)． （Ⅱ）设PQ的中点为R，
?x2?4y2?4a2,?(1?4k2)x2?8kx?4?4a2?0， ??y?kx?1由??64k2?4(1?4k2)(4?4a2)?0，?4ak?a?1?0…①
222x1?x24k?1?y?kx?1?，． RR21?4k21?4k21a?1?4k2?k??1 ， ?AP?AQ?AR?PQ，即kAR?k??1， ?4k0?1?4k2xR?4ak2?a?3?0，即k2?3?a ………② 4a1． 3? k?0,?k2?0， ?0?a?3．把②代入①并化简得3a?1?0?a?
1当a?1时，直线l过点B，而曲线C不过点B，所以直线l与曲线C只有一个公共点.故a?1舍去;故a的取值范围是?a?33且a?1．
5、解：（Ⅰ）?f?0??f(1),?b?1?a?b,得a??1。（1分）
?f?x??x3?x?b的图像可由y?x3?x的图像向上（或下）平移b（或?b）个单位二得到。又y?x3?x是奇函数，
其图像关于原点成中心对称图形，?f?x?的图像关于点?0,b?成中心对称图形。 （Ⅱ）?点P?x1,y1?、Q?x2,y2?在f?x??x3?x?b的图像上，
33y1?y2?x1?x1?b???x2?x2?b??k???x12?x22?x1x2?1。 x1?x2x1?x2又x1、x2???1,1?,x1?x2，?0?x12?x22?x1x2?3，从而
?1?x12?x22?x1x2?1?2
?k?x12?x22?x1x2?1?2
（Ⅲ）?0?x1?x2?1，且y1?y2?2x1?x2??2?x1?x2?， ○1 又y1?y2?f?x1??f?x2??f?x1??f?0??f?1??f?x2?
?f?x1??f?0??f?1??f?x2??2x1?0?2x2?1
2 ?2?x1?0??2?1?x2??2?x1?x2??2 ○①+②得2y1?y2?2，故y1?y2?1