第二章 解线性方程组的直接方法
在这章中我们要学习线性方程组的直接法，特别是适合用数学软件在计算机上求解的方法.
2.1 方程组的逆矩阵解法及其MATLAB程序
2.1.3 线性方程组有解的判定条件及其MATLAB程序 判定线性方程组Am?nX?b是否有解的MATLAB程序
function [RA,RB,n]=jiepb(A,b)
B=[A b];n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0,
disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程
组无解.')
return end
if RA==RB if RA==n
disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方
程组有唯一解.')
else
disp('请注意：因为RA=RB 程组有无穷多解.') end end 例2.1.4 判断下列线性方程组解的情况.如果有唯一解，则用表 3-2方法求解. (1) ?2x1?3x2?x3?5x4?0,?3x?x?2x?7x?0,?1234??4x1?x2?3x3?6x4?0,??x1?2x2?4x3?7x4?0; (2) 第二章 解线性方程组的直接方法的MATLAB程序 ?3x1?4x2?5x3?7x4?0,?2x?3x?3x?2x?0,?1234 ??4x1?11x2?13x3?16x4?0,??7x1?2x2?x3?3x4?0;?4x1?2x2?x3?2,?2x?y?z?w?1,?(3) ?3x1?x2?2x3?10, (4) ??4x?2y?2z?w?2, ?11x?3x?8;?2x?y?z?w?1.?12? 解 在MATLAB工作窗口输入程序 >> A=[2 3 -1 5;3 1 2 -7;4 1 -3 6;1 -2 4 -7]; b=[ 0; 0; 0; 0]; [RA,RB,n]=jiepb(A,b) 运行后输出结果为 请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一 解. RA = 4,RB =4,n =4 在MATLAB工作窗口输入 >>X=A\\b, 运行后输出结果为 X =(0 0 0 0)’. (2) 在MATLAB工作窗口输入程序 >> A=[3 4 -5 7;2 -3 3 -2;4 11 -13 16;7 -2 1 3];b=[ 0; 0; 0; 0]; [RA,RB,n]=jiepb(A,b) 运行后输出结果 请注意：因为RA=RB 多解. RA =2,RB =2,n =4 (3) 在MATLAB工作窗口输入程序 >> A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 0]; b=[2;10;8]; [RA,RB,n]=jiepb(A,B) 运行后输出结果 请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解. RA =2,RB =3,n =3 25． (4)在MATLAB工作窗口输入程序 >> A=[2 1 -1 1;4 2 -2 1;2 1 -1 -1]; b=[1; 2; 1]; [RA,RB,n]=jiepb(A,b) 运行后输出结果 请注意：因为RA=RB 多解. RA =2,RB =2,n =3 2.2 三角形方程组的解法及其MATLAB程序 2.2.2 解三角形方程组的MATLAB程序 解上三角形线性方程组AX?b的MATLAB程序 function [RA,RB,n,X]=shangsan(A,b) B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程 组无解.') return end if RA==RB if RA==n disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此 方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); X(n)=b(n)/A(n,n); for k=n-1:-1:1 X(k)=(b(k)-sum(A(k,k+1:n)*X(k+1:n)))/A(k,k); end else disp('请注意：因为RA=RB 方程组有无穷多解.') end end 第二章 解线性方程组的直接方法的MATLAB程序 例2.2.2 用解上三角形线性方程组的MATLAB程序解方程组 ?5x1?x2?2x3?3x4?20,??2x?7x?4x??7,?234. ?6x3?5x4?4,??3x4?6.?解 在MATLAB工作窗口输入程序 >>A=[5 -1 2 3;0 -2 7 -4;0 0 6 5;0 0 0 3]; b=[20; -7; 4;6]; [RA,RB,n,X]=shangsan(A,b) 运行后输出结果 请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一 解. RA = RB = 4, 4, n = 4, X =[2.4 -4.0 -1.0 2.0]’ 2.3 高斯（Gauss）消元法和列主元消元法及其MATLAB程序 2.3.1 高斯消元法及其MATLAB程序 用高斯消元法解线性方程组AX?b的MATLAB程序 function [RA,RB,n,X]=gaus(A,b) B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end if RA==RB if RA==n disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1 for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); end end b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); end else 27． disp('请注意：因为RA=RB 例2.3.2 用高斯消元法和MATLAB程序求解下面的非齐次线性方程组，并且用逆矩阵解方程组的方法验证. ?x1?x2?x3?3x4?1,??x2?x3?x4?0, ???2x1?2x2?4x3?6x4??1,??x1?2x2?4x3?x4??1.解 在MATLAB工作窗口输入程序 >> A=[1 -1 1 -3; 0 -1 -1 1;2 -2 -4 6;1 -2 -4 1]; b=[1;0; -1;-1]; [RA,RB,n,X] =gaus (A,b) 运行后输出结果 请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解. RA = X = 4 0 RB = -0.5000 4 0.5000 n = 0 4 2.3.2 列主元消元法及其MATLAB程序 用列主元消元法解线性方程组AX?b的MATLAB程序 function [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b) B=[A b]; n=length(b); RA=rank(A); RB=rank(B);zhica=RB-RA; if zhica>0, disp('请注意：因为RA~=RB，所以此方程组无解.') return end if RA==RB if RA==n disp('请注意：因为RA=RB=n，所以此方程组有唯一解.') X=zeros(n,1); C=zeros(1,n+1); for p= 1:n-1 [Y,j]=max(abs(B(p:n,p))); C=B(p,:); B(p,:)= B(j+p-1,:); B(j+p-1,:)=C; for k=p+1:n m= B(k,p)/ B(p,p); B(k,p:n+1)= B(k,p:n+1)-m* B(p,p:n+1); end end b=B(1:n,n+1);A=B(1:n,1:n); X(n)=b(n)/A(n,n); for q=n-1:-1:1 X(q)=(b(q)-sum(A(q,q+1:n)*X(q+1:n)))/A(q,q); end else disp('请注意：因为RA=RB 例2.3.3 用列主元消元法解线性方程组的MATLAB程序解方程组