?01?2?2V?X?C|AX?XA?。 ，???00?2?2〉证明V是C的子空间，并求V的基和维数；
??a0??2?2|?a,b?C〉假设C的子空间W????，求W的基和维数； ???ba??*（20%）假设矩阵A??〉求V?W,V?W的基和维数。
?000?At*（12%）设A??11?1?。求A的特征多项式和最小多项式，并求e。
???11?1???*（20%）假设矩阵A???11?2?22?2?，在C上定义映射f如下：对任意X?C， ?00?f(X)?AX
〉证明：f是C〉求f在C2?22?2上的线性变换；
的基E11,E21,E12,E22下的矩阵M；
〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的各一组基及它们的维数； 〉问：C2?2?R(f)?K(f)是否成立？为什么？
?1?*（15%）假设矩阵A??1?0???1?*（15%）设矩阵A??3?4?1100150???10?，求A的广义逆矩阵A?。 00??0??1y2????0?，B??010?。
?00x?1????1〉求矩阵A的Jordan标准形；
〉若A与B是相似的，问：参数x,y应满足什么条件？试说明你的理由。
*（10%）假设?1?(1,1,0), ?2?(1,0,?1)，R的由?1, ?2生成的子空间V?L(?1,?2)，
3
??(1,1,1)。在V中求向量?0，使得???0?min???。
??V* 假设A是n?n正规矩阵，U是n?n酉矩阵。证明：UAU也是正规矩阵。 * 证明：对于任意矩阵A,A2?AF。其中, A2是A的算子2范数,AFrobenius范数。 *（20%）假设A?C记V(A)?{X?C〉证明：V(A)是C〉若n?2，A??n?nHF 是A的
。 的子空间。
n?n|AX?O}。
n?n?00??，求这时V(A)的一组基及其维数。 ?10??00?2?2〉若A???，记W(A)?{X?C|XA?O}。求W(A)的一组基及其维数。
?10?
26
〉V(A)?W(A)是否为直和？说明你的理由。 *（15%）假设A??〉证明：f是C〉求f在C2?22?2?11?2?22?2?X?CC，在上映射如下：，。 f(X)?XAf???1?1?上的线性变换。
的基E??10?,E??01?,E??00?,E??00?下的矩阵M；
11??12??21??22???00??00??10??01?〉分别求f的值域R(f)及核空间K(f)的基及其维数；
*R的子空间V?{(x,y,z)|x?2y?z?0}，??(1,0,0)，求?0?V使得???0?min???。
??V3?000???At*（15%）设A??300?，求A的特征多项式、最小多项式，并求矩阵函数e。
?400???*（１5%）已知矩阵A的特征多项式CA(?)及最小多项式mA(?)都等于(??2)(??3)2，并且矩阵?200???B??1?30?。
?10?3???〉分别给出A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？
?22000???11000?，求A的广义逆矩阵A?。 *（15%）已知矩阵A???00000???00013??*（8%）证明题：
〉假设?是欧几里德空间V中单位向量，V上的线性变换f定义如下：对任意x?V，
f(x)?x?2?x,???。证明：f是V上的正交变换。
〉假设A是n?n酉矩阵,B 是n?nHermite矩阵，并且AB?BA。记M?AB。证明：存在
H酉矩阵U，使得UMU是对角阵。
?11?2?2V?X?C|AX?XA?， *（20%）假设矩阵A??，???01?〉证明V是C〉假设C2?22?2的子空间，并求V的基和维数；
的子空间W?????ab??|?a,b,c?C?，求W的基和维数； ???cb??〉求V?W,V?W的基和维数。
?100?At*（12%）设A??32?1?。试将e表示成关于A的次数不超过2的多项式。
???110???*（20%）假设矩阵A???11?2?2?，在C上定义映射f如下：
??1?1? 27
对任意X??〉证明：f是C〉求f在C2?22?2?ab?2?2， f(X)?XA ?C??cd?上的线性变换；
的基E11,E12,E21,E22下的矩阵；
〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的各一组基及它们的维数； 〉问：C2?2?R(f)?K(f)是否成立？为什么？
?1?*（15%）假设矩阵A??2?3???1?*（15%）设矩阵A??2?1?200??400?，求A的广义逆矩阵A?。 600??00??1y3????10?，B??015?。
?00?1?x1????〉讨论矩阵A及B的Jordan标准形；
〉若A与B是相似的，问：参数x,y应满足什么条件？试说明你的理由。
*（10%）假设?1?(1,3,2), ?2?(2,0,?1)，R的由?1, ?2生成的子空间V?L(?1?2)，
3
??(1,1,1)。在V中求向量?0，使得???0?min???。
??V*（8%）证明题
2〉假设n?n矩阵A的算子2范数为a，证明：矩阵AA的算子2范数为a。
H〉设??C，且???1。证明：I???是正定矩阵。 *（20%）假设A?C记V(A)?{X?Cn?nnHH。
|AX?O}。证明：V(A)是Cn?n的子空间。 ?00?〉若n?2，A???，求这时V(A)的一组基及其维数。
?10??00?2?2〉若A???，记W(A)?{X?C|XA?O}。求W(A)的一组基及其维数。
?10?〉V(A)?W(A)是否为直和？说明你的理由。
?11?2?22?2?X?f(X)?XACCf*（15%）假设A??，在上映射如下：，。 ???1?1?2?2〉证明：f是C上的线性变换。
n?n的基E??10?,E??01?,E??00?,E??00?下的矩阵M；
11??12??21??22???00??00??10??01?〉分别求f的值域R(f)及核空间K(f)的基及其维数； 〉求f在C2?2* (12%)设R的子空间V?{(x,y,z)|x?2y?z?0}，??(1,0,0)，求?0?V使得
3???0?min???。
??V 28
?000???At*（15%）设A??300?，求A的特征多项式、最小多项式，并求矩阵函数e。
?400???*（１5%）已知矩阵A的特征多项式CA(?)及最小多项式mA(?)都等于(??2)(??3)2，并且矩阵?200???B??1?30?。
?10?3???〉分别给出A和B的Jordan标准形； 〉问：A与B是否相似？为什么？
?22000???11000?，求A的广义逆矩阵A?。 *（15%）已知矩阵A???00000???00013??
*（8%）证明题：
〉假设?是欧几里德空间V中单位向量，V上的线性变换f定义如下：对任意x?V，
f(x)?x?2?x,???。证明：f是V上的正交变换。
〉假设A是n?n酉矩阵,B 是n?nHermite矩阵，并且AB?BA。记M?AB。证明：存在
H酉矩阵U，使得UMU是对角阵。
?01?2?2*（20%）假设矩阵A???，V??X?C|AX?XA?。
?00?〉证明V是C〉假设C2?22?2的子空间，并求V的基和维数；
的子空间W?????a0??|?a,b?C?，求W的基和维数； ?ba????〉求V?W,V?W的基和维数。
?000?At*（12%）设A??11?1?。求A的特征多项式和最小多项式，并将e表示成关于A的次数
???11?1???不超过2的多项式。
?11?2?22?2*（20%）假设矩阵A???，在C上定义映射f如下：对任意X?C，
?00?f(X)?AX
〉证明：f是C〉求f在C〉问：C2?22?22?2上的线性变换；
的基E11,E21,E12,E22下的矩阵M；
〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的各一组基及它们的维数；
?R(f)?K(f)是否成立？为什么？
29
?1?*（15%）假设矩阵A??1?0???1?*（15%）设矩阵A??x?1?11001y1???1?1?，求A的广义逆矩阵A?。 00??0??113????0?，B??015?。
?00?1?1????1〉讨论矩阵A及B的Jordan标准形；
〉若A与B是相似的，问：参数x,y应满足什么条件？试说明你的理由。
*（10%）假设?1?(1,1,0), ?2?(1,0,?1)，R的由?1, ?2生成的子空间V?L(?1,?2)，
3
??(1,1,1)。在V中求向量?0，使得???0?min???。
??V*（8%）证明题
2〉假设A是n?n正规矩阵，A的算子2范数A2?a。证明：矩阵A的算子2范数A22?a2。
〉设列向量??C，且???1。证明：I???是正定矩阵。
nHH?11?2?2*（20%）假设矩阵A???，V??X?C|AX?XA?，
?02?2?2〉证明：V是C的子空间；
??ab??2?2〉假设C的子空间W????|?a,b,c?C?，分别求V,W,V?W,V?W的基和维数。
cb?????100???At*（12%）设矩阵A??32?1?。试将e表示成A的次数不超过2的多项式。
?110????11?2?2C*（20%）假设矩阵A??，在上定义映射f如下： ??1?1???ab?2?2对任意X????C， f(X)?XA
?cd?〉证明：f是C〉求f在C〉问：C2?22?22?2上的线性变换；
的基E11,E12,E21,E22下的矩阵；
〉求f的值域R(f)及核子空间K(f)的各一组基及它们的维数；
?R(f)?K(f)是否成立？为什么？
?00?11????*（15%）假设矩阵A??1200?，求A的广义逆矩阵A。
?2400????x00??153?????*（15%）设矩阵A??210?，B??015?。
?1y1??00?1????? 30